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Soit f une fonction définie sur I.
Soit g la fonction qui à h associe g(h) = f(a + h).
La fonction f admet un développement limité d'ordre n en a, si et seulement si g admet un développement limité d'ordre n en 0. f(x) = Pn(x) + o((x − a)n) ⇐⇒ g(h) = f(a + h) = Pn(a + h) + o(hn) ._{28 mar. 2017}

Qu'est-ce qu'un DL en maths ?

Les développements limités sont l'outil majeur, en mathématiques, pour l'étude locale : limite de fonctions, recherche d'asymptotes, étude de la convergence de séries.
Par exemple, déterminons la limite en 0 de sin(x)−xtan(x)−x.

Comment choisir l'ordre d'un développement limité ?

Un développement limité peut être effectué à plusieurs ordres, il permet de donner une approximation d'une fonction par un polynôme au voisinage d'un point.
On a par exemple sin(x)=x+o(x) comme DL de sin en 0.
Mais on peut aller à un ordre plus élevé et le DL, à l'ordre 3 par exemple : sin(x)=x−x33

Comment montrer l'existence d'un DL ?

Il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un DL_n en x₀ pour la dérivée d'une fonction admettant un DL_n ₊ ₁ en x₀.
Par exemple, en 0, la fonction x ↦ x³sin(1/x) – prolongée par 0 ↦ 0 – admet un DL₂ (il s'agit de 0 + o(x²)) mais sa dérivée n'admet pas de DL₁.

Calcul de développement limité En effet, une fonction f est dérivable en un réel a de son domaine de définition si et seulement si elle admet un développement limité à l'ordre 1 et dans ce cas ce développement s'écrit f ( x ) = f ( a ) + f ′( a ) × ( x − a ) + o

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