si 2 n 1 premier alors n premier

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1 Arithmétique : nombres premiers et division euclidienne

Si n ≥ 2 alors n admet au moins un diviseur premier p et p < n puisque n n'est pas premier Il existe donc un entier naturel q tel que n = pq et 2n – 1 = (2p) q – 1 D'après 1 3 2n – 1 est divisible par 2p – 1 Or 1 < p < n d'où 1 < 2p – 1 < 2n – 1 Donc 2n – 1 admet au moins 3 diviseurs et n'est pas premier On vient de

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1 Premières propriétés des nombres premiers

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 • Premier cas : n est premier • Deuxième cas : n n’est pas premier alors il existe au moins un diviseur premier de n Appelons le d1 Alors il existe k1 tel que n=d1k1 – Si k1 est premier alors la propriété est démontrée

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121 Nombrespremiers: questions

5 Soit n ∈ N∗ a) Montrer que si 2n −1 est premier alors n est premier b) Montrer que si 2n +1 est premier alors n est une puissance de 2 6 On note pn le n-i`eme nombre premier Montrer que la s´erie P n≥11/pn est divergente (on pourra comparer avec un produit inﬁni) 7 Parmi les assertions suivantes dire lesquelles sont

PDF	Divisibilit e 1 vaut 2r 1 ou r est le reste Exercice 9 Soit n 2 N Montrer que n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) et n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) sont respectivement divisibles par 2 6 24 et 120 Exercice 10 Soit p; q 5 deux nombres premiers jumeaux c'est-a-dire dont la di erence vaut 2

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Les nombres premiers

n =dq avec q >1 Factorisons alors Mn: Mn =2n −1 =(2d)q −1 car n =dq =(2d −1)[(2d)q−1 +(2d)q−2 +···+2d +1] donc 2d −1 est un diviseur propre de Mn et donc Mn n’est pas premier Conclusion : Si n n’est pas premier alors Mn ne l’est pas non plus On peut aussi utiliser la contraposée : Si Mn est premier alors n l’est

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Les nombres premiers

On procède par élimination des multiples √ stricts des nombres premiers pi inférieur ou égal à n sur la liste des entiers de 2 à n Les nombres de Mersenne : On pose Mn = 2n − 1 Proposition (exos bac) : Si Mn est premier alors n est premier La réciproque est fausse malheureusement

Comment savoir si un nombre est premier ?
Il existe une infinité de nombres premiers. Soit n un entier naturel au moins égal à 2. Si n n'est pas premier alors n admet au moins un diviseur premier p tel que p£n. Si un entier naturel n, supérieur ou égal à 2, n'admet aucun diviseur premier p tel que p£n alors n est premier. Deux nombres premiers sont jumeaux si leur différence est égale à 2.
Quelle est la somme des diviseurs de 1 ?
En effets, 1 n’a qu’un seul diviseur, lui-même, 1. La somme des diviseurs de 1 est donc égale à 1. De plus, 1 peut s’écrire sous la forme du produit 2n (2n+1-1), avec n=0. En effet : 0 (c’est le seul cas existant) .
Comment calculer l’infinité de nombres premiers ?
Il existe une infinité de nombres premiers. Démonstration par l’absurde, proche de celle d’Eu- clide en son temps. On suppose qu’il existe un nombre fini n de nombres premiers, on établit alors que le nombre N = p1p2 . . . pn + 1 est aussi pre- mier ce qui est contradictoire avec l’hypothèse de départ.
Quels sont les premiers nombres premiers ?
Les premiers nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... Il n’existe pas de machine à générer des nombres pre- miers. Par contre, on dispose de résultats concernant la densité des nombres premiers (hors programme) 274 207 281 − 1 qui comporte 22 338 618 chiffres ! Il existe une infinité de nombres premiers.

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Pourquoi 2 n'est pas premier ?
2 est un nombre premier car il n'est divisible que par 1 (2 ÷ 1 = 2) et par lui-même (2 ÷ 2 = 1) ; 4 n'est pas un nombre premier car il admet 3 diviseurs : 1, 2 et 4 ; 123 n'est pas un nombre premier, car il est divisible par 3.
Comment savoir si un nombre est premier PDF ?
Un nombre entier naturel (supérieur ou égal à 2) est un nombre premier s'il admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même. Exemple : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 … sont des nombres premiers.
Comment montrer que n et n 1 sont premiers entre eux ?
En effet, on peut écrire (n + 1) x 1 - n x 1 = 1, donc d'après le théorème de Bézout, les entiers n et n + 1 sont premiers entre eux. On a donc PGCD(n ; n+1) = 1 = (n + 1) - n.
En 1947 la liste correcte des nombres de Mersenne premiers pour n < 258, est établie et vérifiée : n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 et 127. On connaît actuellement une quarantaine de nombres de Mersenne.

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