polynome de tchebychev tn (cosx)=cos(nx)

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DEVOIR EN TEMPS LIBRE N° 11 CORRIGE : Polynômes de Tchebychev

Épreuve : MATHÉMATIQUES 11 DEVOIR EN TEMPS LIBRE N° 11 CORRIGE : Polynômes de Tchebychev de première espèce On considère les polynômes Pn définis par : P0 = I P1 = X et la relation : n I N Pn+2 = 2 X Pn+1 – Pn PARTIE I 1) Calculer P2 P3 P4 P0 = I P1 = X P2 = 2 X2 – 1 P3 = 4 X3 – 3 X et P5 = 8 X4 – 8 X2 + 1

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Comment prouver qu'une fonction est polynôme ?
�� Une fonction polynôme du second degré est une fonction mathématique de la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des coefficients constants, et a n'est pas égal à zéro.
Une fonction polynôme est impaire si chacun de ses termes est de degré impair.
Une fonction polynôme n'est ni paire, ni impaire si certains de ses termes sont de degré pair et les autres de degré impait.

Construisez Une Preuve Par récurrence

Vous allez utiliser une preuve à deux crans. Pour tout entier naturel n\\displaystyle nn, notez P(n)\\displaystyle \\mathscr{P}(n)P(n) la propriété : « ∃Pn∈R[X],∀x∈R,cos⁡nx=Pn(cos⁡x)\\displaystyle \\exists P_n\\in\\R[X], \\forall x\\in\\R, \\cos nx = P_n(\\cos x)∃Pn∈R[X],∀x∈R,cosnx=Pn(cosx)». Pour n=0\\displaystyle n=0n=0, vous posez P0(X)=1\\displaystyle P_0(

Définissez La Suite Des Polynômes de Tchebychev

Vous définissez la suite de polynômes de Z[X]\\displaystyle \\Z[X]Z[X] dite de Tchebychev, en posant P0=1,\\displaystyle P_0 = 1,P0=1, P1=X\\displaystyle P_1 = XP1=Xpuis en utilisant la relation de récurrence ci-dessous : D’après la récurrence qui a été effectuée ci-dessus, cette suite de polynômes vérifie l’égalité suivante : avosz.fr

Déterminez Le Coefficient Dominant de Pn\\Displaystyle P_Npn

Les premiers calculs montrent que : Il semble que pour tout entier naturel n\\displaystyle nn supérieur ou égal à 1,\\displaystyle 1,1, le degré du polynôme Pn\\displaystyle P_nPn soit égal à n\\displaystyle nn et que son coefficient dominant soit égal à 2n−1.\\displaystyle 2^{n-1}.2n−1. Vous allez de nouveau démontrer cette propriété par récurrence à

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