polynomes et fractions rationnelles en seconde

PDF	LES POLYNOMES ET FRACTIONS RATIONNELLES LES POLYNOMES ET FRACTIONS RATIONNELLES Objectif Connaître la décomposition en facteurs d'un polynôme Connaître la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle Dans tout ce chapitre K sera R ou C 1 Polynômes sur R ou C 1 1 oVcabulaire

PDF	Chapitre 2 POLYNOMES ET FRACTIONS RATIONNELLES On note K[X] l’ensemble des polynˆomes `a une ind ́etermin ́ee `a coefficients dans K ( ou )

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Exo7

» On termine avec les fractions rationnelles : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes Dans ce chapitre K désignera l’un des corps Q R ou C 1 Déﬁnitions 1 1 Déﬁnitions Déﬁnition 1 Un polynôme à coefﬁcients dans K est une expression de la forme P(X) = anXn +a n1X n1 + +a 2X 2 +a 1X +a0 avec n 2N et a0

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Polynômes et fractions rationnelles

Maths en L1˙gne Polynômes et fractions rationnelles UJF Grenoble Proposition 2 Pour tout élément P de B tel que P 6= 0 il existe un unique entier d ≥ 0 et un unique (d+1)-uplet (a i) 0≤i≤d d’éléments de A tels que a d 6= 0 et P = a dXd +a d−1Xd−1 +···+a 1X +a 0 Démonstration: Il suﬃt de remarquer que pour tout n ≥

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Polynômes-Fractions Rationnelles

2 3 Fractions rationnelles 2 3 1 Définition Une fraction rationnelle est le rapport de deux polynômes Si f(x) = A(x) B(x)est une fraction rationnelle A(x) est le numérateur et B(x) le dénominateur Une fraction rationnelle peut ne pas être définie pour certaines valeurs de x Exemple f(x) = 2 x + 1 + 1 x−2

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TD n 5 : Polynômes et fractions rationnelles

TD no 5 : Polynômes et fractions rationnelles Exercice 5 1 1 Calculer le reste et le quotient de la division euclidienne de 1 + X + X2 + X3 par 2+X En déduire une primitive de la fonction f : x → x3 +x2 +x+1 x+2 2 Écrire la division euclidienne de X4 +5X3 −X2 +2X +1 par 2X2 −3X +1 3 Écrire la division euclidienne de X3 + 3X + 1

Comment calculer la fraction rationnelle ?
Tout polynˆome de [X] peut se − − ∈ R R d ́ecomposer en produit de tels facteurs irr ́eductibles. Exemple : D ́ecomposer le polynˆome P = X6 1 de [X] en facteurs irr ́eductibles dans . pour obtenir : P = (X 1)(X + 1)(X2 + X + 1)(X2 X + 1). On appelle fraction rationnelle `a une ind ́etermin ́ee tout couple (P, Q) de K[X] K[X]∗ . On × P P R note .
Comment calculer la partie entière d'une fraction rationnelle ?
2.3 Décomposition en éléments simples 2.3.1 Partie entière d'une fraction rationnelle Proposition 9. Soit F = P Q une fraction irréductible. Il existe un unique polynôme E, appelé partie entière de la fraction Fet un unique polynôme Rtels que P Q = E+ R Q Rest le reste de la division euclidienne de Ppar Qet Eest le quotient de cette division.
Qu'est-ce que la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle ?
Connaître la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle. Dans tout ce chapitre K sera R ou C. 1 Polynômes sur R ou C 1.1 oVcabulaire On note K[X] l'ensemble des polynômes dits à une indéterminée que l'on note X, à coe\u001Ecients dans K c'est à dire des réels ou des complexes.
Quels sont les polynômes et fractions rationnelles ?
Polynômes et fractions rationnelles Tout le monde connaît les fonctions polynomiales : ce sont simplement les fonctions comme t 7→4 + 5t2 + 7t3 + t5.

2.1.1 Vocabulaire sur les polynˆomes

On note K[X] l’ensemble des polynˆomes `a une ind ́etermin ́ee `a coefficients dans K ( ou ). perso.univ-rennes1.fr

Propri ́et ́es:

Soient P et Q deux polynˆomes. Alors : deg(P Q) = deg(P ) + deg(Q) et val(P Q) = val(P ) + val(Q) deg(P + Q) Sup deg(P ); deg(Q) avec ́egalit ́e si deg(P ) = deg(Q) ≤ { } val(P + Q) Inf val(P ); val(Q) avec ́egalit ́e si val(P ) = val(Q). ≥ { } et D ́emonstration : Laiss ́ee en exercice. Remarque : Dans toute la suite, on identifiera souvent le p

∈ R ∈ C

de P si et seulement si ̄α l’est aussi. Soit alors [X]. On peut consid ́erer [X] et `a perso.univ-rennes1.fr

2.2.1 D ́efinition

On appelle fraction rationnelle `a une ind ́etermin ́ee tout couple (P, Q) de K[X] K[X]∗ . On × P P R note . Si P S = QR, on identifie les deux fractions rationnelles et . (On dit aussi que perso.univ-rennes1.fr

P A1 Lλ

nelle . Les ,. . . , sont les ́el ́ements simples. Si le d ́enominateur est une puissance d’un perso.univ-rennes1.fr

2.2.4 Pratique de la d ́ecomposition dans (X)

C P Soit une fraction rationnelle `a coefficients dans . Dans [X] tous les polynˆomes sont perso.univ-rennes1.fr

b c

forme A(X) = X + + . En ́ecrivant A = A, ̄ on a a = ̄a, b = ̄ c et c = ̄ b. perso.univ-rennes1.fr

🔥 les Polynomes et les Fraction Rationnelles (2022) Partie 1🔥

Polynômes et Fractions Rationnelles Décomposition en Eléments Simples Exercice 1

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Comment calculer les fraction rationnelle ?

Proposition : La partie entière E ( x ) de la fraction rationnelle P ( x ) Q ( x ) est le quotient de P par Q dans la division euclidienne de P par Q .
. On est alors ramené au cas où le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.

Comment déterminer les réels AB et C d'une fonction rationnelle ?

3.2 Décomposition d'une fraction rationnelle Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de R?{?2}, on ait : f (x) = ax +b + c x +2 .
. Réponse : pour tout x de R?{?2} : Comme x +2 = 0, on peut effectuer un produit en croix, puis simplifier par x +2.
. Conclusion : pour tout x de R?{?2}, f (x) = 2x +3+ 2 x +2 .

Quelle est la condition d'existence d'une fraction rationnelle ?

Une condition d'existence est une condition qui fait que la fraction puisse exister, c'est-à-dire que son dénominateur soit non nul.
. Pour rechercher les conditions d'existence d'une fraction rationnelle, il est plus simple de commencer par factoriser le numérateur et le dénominateur.

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