primitive cours

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Résumé : Primitives Niveau : Réalisé par Prof Benjeddou

est dite une primitive de ′sur ???? si est dérivable sur ???? et (????)= (????) pour tout ????∈???? Toute fonction continue sur un intervalle ???? admet au moins une primitive sur ???? Soit une fonction continue sur un intervalle ???? Soit ∈???? et ∈ℝ

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Intégration et primitives

2 PRIMITIVE 2 Primitive 2 1 Théorème fondamental Théorème 1 : Soit une fonction f continue et positive sur un intervalle [a;b] La fonction F déﬁnie par : F(x)= Z x a f(t)dt est dérivable sur [a;b]et F′= f ROC Démonstration : Dans le cas où f est croissante sur [a;b](On admet ce théo-rème dans le cas général)

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Comment apprendre les primitives ?
Pour déterminer une primitive d'une fonction rationnelle, on décompose celle-ci en une somme d'une fonction polynôme et d'une fonction inverse.
Exemple : Soit f\\left ( x \\right )=\\frac{x^{2}+2}{x-3} définie sur ]3\\, ;+\\infty[.
Elle peut s'écrire sous la forme : f\\left ( x \\right )=ax+b+\\frac{c}{x-3}.
Quelle est la formule de la primitive ?
Ainsi H(1) = 1 ln 1 – 1 + ln 1 + k = k – 1.
On veut avoir H(1) = 2, donc k – 1 = 2, d'où k = 3.
La primitive H de h telle que H(1) = 2 est donc définie par : H(x) : x ↦ x ln x − x + ln x + 3.
Comment expliquer ce qu'est une primitive ?
Définition de la primitive.
Lorsque l'on a une fonction f(x) , il existe toujours une autre fonction F(x) , telle que si je la dérive donc F'(x) elle me donne la fonction f(x).
D'autant il n'existe pas une seule fonction mais au contraire une infinité.
Qu'est ce qu'une Primitive.
Une fonction F est une primitive d'une autre fonction f si et seulement si la dérivée F' de la fonction F est égale à f.
Montrer que la fonction F définie sur R par F\\left(x\\right) = \\left(2x+5\\right)e^{2x+3} est une primitive de la fonction f définie sur \\mathbb{R} par f\\left(x\\right) = \\left(4x+12\\right)e^{2x+3}.

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Si f admet une primitive F sur I alors les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme : avec k réel. Autrement dit : deux primitives d'une même fonction, sur un intervalle, ne diffèrent que d'une constante. Soit G fonction définie sur I par G(x) = F(x) + k avec k réel.

Comment expliquer ce qu'est une primitive ?

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
. On dit qu'une fonction F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I et que F' = f.

Comment faire la primitive ?

Pour déterminer une primitive d'une fonction rationnelle, on décompose celle-ci en une somme d'une fonction polynôme et d'une fonction inverse.
. Exemple : Soit f\\left ( x \\right )=\\frac{x^{2}+2}{x-3} définie sur ]3\\, ;+\\infty[.
. Elle peut s'écrire sous la forme : f\\left ( x \\right )=ax+b+\\frac{c}{x-3}.

Comment bien comprendre les primitives ?

Les primitives sont utilisées quand on a la dérivée d'une fonction et qu'on cherche la fonction elle-même.
. Tu verras cela en mécanique quand tu chercheras les équations horaires d'un projectile.

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