Développements limités usuels en 0

Les développements limités ci-dessous sont valables quand x tend vers 0 et uniquement dans ce cas Formule de Taylor-Young en 0 f(x) = x→0 n ∑ k=0 f(k) (0)

Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2 2/" (0) +

Développements limités usuels en 0 e x = 1+ x 1 + x2 Développements en série entière usuels e ax = ∞ ∑ n=0 an n xn a ∈ C , x ∈ R sh x = ∞ ∑ n=0 1

Développements limités usuels en 0 e x = 1+ x 1 + x2 2+ ··· + xn au voisinage de 0, on dit que (2) est un D L (développement limité) `a l'ordre n de f en x0

Tous les DL usuels suivants sont au voisinage de x = 0 Les développements limités se regroupent presque tous en deux familles A) Famille exponentielle

Nous verrons que toutes les fonctions usuelles admettent un développement limité nage de 0, donc la fonction admet un développement limité, dont la partie 

I A Définitions usuelles Définition 1 Soit f : I → R une fonction 1 On dit que f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de 0 (noté DLn(0)) si f 

Développements limités usuels en 0 e x = 1+ x 1 + x2 2+ ··· + xn n + O(xn+1) sh x = x + x3 3+ ··· + x2n+1 (2n + 1) + O(x2n+3) ch x = 1+ x2 2 + x4 4+ ··· +

La fonction ln(x) n'admet pas de DL en 0, car lim x→0 ln(x) = −∞ (4) Si f admet un définie par g(h) = f(x0 + h) admet un développement limité à l'ordre n en 0

I Obtenus par les formules de Taylor Tableau des développements limités usuels en 0, `a l'ordre n ou préciser par la puissance dans le o ex = n ∑ k=0 1 k