algebre 3 cours pdf

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Algèbre 3 : Résumé de cours

3 ) Elle est distributive par rapport à l’addition ce qui signiﬁe que 8(abc) 2Z3 a (b +c) = a b + a c On dit que (Z+) est un anneau 2 Entiers relatifs et arithmétique 2 1 Division euclidienne Théorème 1 Pour tout couple d’entiers naturels (ab) avec b 6= 0 il existe un unique couple (qr) d’entiers naturels tels que (a = bq

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Algèbre 3

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Algèbre bilinéaire et sesquilinéaire Chapitre 1 : Espaces

1 3 Norme euclidienne Déﬁnition 1 3 Dans un espace vectoriel réel E on appelle norme toute application N de E dans R telle que : 1 8x 2E N(x) ‚0; 2 8x 2E N(x) ˘0 x ˘0; 3 8k 2R 8x 2E N(kx) ˘jkjN(x); 4 8(xy) 2E2 N(x¯y) •N(x)¯N(y) Théorème 1 2 Soit E un espace préhilbertien réel dont le produit scalaire est noté hji

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Objectifs :

Réduire les matrices Etudier et résoudre les systèmes d’équation linéaires Etudier et résoudre des systèmes d’équation différentielles linéaires ensao.ump.ma

Prérequis:

Nombres réels et complexes; Algèbre de base: ensembles, relations, applications,

Recommandations:

Se familiariser avec les logiciels de calcul scientifique (Scilab ou Matlab,

Partie1: Réduction des matrices carrées

Valeurs et vecteurs propres Polynôme caractéristique Réduction à la forme triangulaire Sous-espaces propres Diagonalisation Polynôme minimal d’endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Sous espace caractéristique Endomorphismes nilpotents ensao.ump.ma

Partie2: Formes bilinéaires

Dualité Orthogonalité Transposition Espaces Euclidiens, Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, projections orthogonales. Formes bilinéaires, formes quadratiques. ensao.ump.ma

Partie3: Application à la résolution des systèmes différentiels linéaires

Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants. Résolution du système homogène (H) : dY/dx = A Y Cas où A est diagonalisable. - Cas où A est trigonalisable. Résolution du système complet (L) : dY/dx = A Y + B(x) Exponentielle d’une matrice. Résolution du système différentiel (L) en utilisant l’exponentielle de matrice. 0 . Rappels sur l

Partie1: Réduction des matrices carrées

Les matrices sont largement utilisées dans différents domaines scientifiques, techniques, économiques et de gestion. Elles interviennent comme outil de modélisation, d’analyse et de résolution de problèmes. Les problèmes étudiés, notamment dans les sciences de l’ingénieur, font souvent intervenir des grandeurs multidimensionnelles. Par conséquen

2 - Opérations sur les matrices

La somme de deux matrices A =( )m,n et B =( )m,n est la matrice A+B= ( + )m,n La multiplication d’une matrice A =( )m,n par un scalaire α de K est la matrice α.A =(α )m,n m,n (M (K), +, . ) est un K – espace vectoriel. L’élément neutre m,n M (K) pour l’addition est la matrice nulle Om,n(tous ses termes aijsont nuls) Le produit A × B (noté simpleme

3 – Ecriture d’un système d’équations linéaires:

Un système de m équations linéaires à n inconnues scalaires de la forme : + ⋯ + + ⋯ + = =

4 - Représentation matricielle d’une application linéaire:

Soient E et F deux espaces vectoriels sur K de dimensions respectives n et m. Etant données une base BE =(ei) 1≤i ≤ n de E et une base BF =(fi) 1≤i ≤ m de F, toute application linéaire u de E dans F (u ∈ L(E,F) ) est représentée par sa matrice Mu=(aij)m,n où aij est la composante du vecteur u(ei) selon le vecteur fj . Autrement dit, Mu=(Ai)(1≤i ≤ m

5 – Rang d’une matrice

Le rang d’une matrice A ε Mm,n (K), noté rg(A), est la dimension du sous-espace vectoriel de Km engendré par la famille des vecteurs colonnes (Aj ) (1≤ j≤ n) . C’est aussi la dimension du sous-espace de Kn engendré par la famille des vecteurs lignes (Ai)(1≤i ≤ m) . Il en résulte que rg(A)≤min(m,n) et que rg(tA)=rg(A) Soient A ∈ Mm,n (K) et B ∈ Mm,n

7.2 - Matrices carrées particulières

Une matrice carrée Aε Mn (K) est dite symétrique si tA = A. A est dite antisymétrique tA = -A. Autrement dit, une matrice A=(aij)n est symétrique (resp. antisymétrique ) si aij= aji (resp. aij= -aji) pour tout i. n n n S (K) et A (K) désignent respectivement les ensembles des matrices symétriques et antisymétriques de M (K) S (K) et A (K) sont de

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