cours nombres complexes 1sti2d

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Chapitre 9 : Les nombres complexes (1)

contient les nombres réels Les règles de calcul de l’addition et de la multiplication des nombres réels se pro-longent aux nombres complexes Il existe un nombre complexe noté i tel que i2 Æ ¡1 Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique z Æ x Åiy avec x et y réels

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Nombres complexes STI D

Tout nombre complexe non nul z admet un inverse not´e 1 z D´emonstration: Soit z = x +iy un nombre complexe non nul c’est-a`-dire x 6= 0 et y 6= 0 Alors 1 z = z zz = 1 x +iy = x −iy (x +iy)(x−iy) = x− iy x2 +y2 = x x2 +y 2 − i y x +y2 avec x2 +y2 6= 0 Propri´et´e (Quotient de deux nombres complexes) Le quotient des deux

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Première STI 2D

Définitions On admet l’existence d’un nombre noté dont le carré est égal à On appelle alors nombre complexe tout nombre de la forme où et sont deux nombres réels Cette écriture est dite forme algébrique du nombre complexe Le réel est la partie réelle du nombre complexe Le réel est la partie imaginaire du nombre complexe

Comment exprimer une addition ou une différence de deux nombres complexes ?
Conclusions générales En résumé, lorsqu’on voudra effectuer une addition ou une différence de deux nombres complexes, il sera préférable de les exprimer sous forme algébrique (ou trigonométrique). En revanche, quand il s’agira d’effectuer une multiplication ou un quotient de deux nombres complexes, il sera plus facile d’utiliser leur forme polaire.
Comment écrire le quotient de deux nombres complexes ?
Pour écrire le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Il est donc inutile de retenir par cœur la formule encadrée. A tout nombre complexe soit le point M de coordonnées ; soit le vecteur de coordonnées
Comment calculer le nombre complexe ?
Par définition le nombre complexe Z est la somme des nombres complexes z et z'. On écrira : La partie réelle de la somme est la somme des parties réelles. La partie imaginaire de la somme est la somme des parties imaginaires. Soient deux nombres complexes z et z'. Effectuer la différence z-z’ revient à ajouter l’op posé de z’ à z.
Pourquoi les nombres complexes sont-ils égaux ?
Deux nombres complexes sont égaux si et seulemet si leurs parties réelles et leurs partie imaginaires sont égales. Remarque importante : Les nombres complexes sont souvent utilisés en électricité. Afin de ne pas confondre le nombre dont le carré vaut avec l’intensité d’un courant, le nombre est noté par les physiciens.

4. Opérations sur les nombres complexes

On considère les nombres complexes : z=x+iy et z'=x' +iy ' physique-et-maths.fr

a. La somme

La somme complexe de z et z’ est définie de C×C→C z+ z'=x+x '+i( y+ y ') par : physique-et-maths.fr

= Re(z) sinθ Im = y = (z)

z z z z on calcule z cosθ = on place un point M (cosθ ;sinθ ) sur le cercle trigonométrique on détermine (⃗u;⃗ OM ) et l’on indique une valeur de θ physique-et-maths.fr

9. Notation exponentielle

∀θ ∈R , on pose eiθ =cosθ +i⋅sinθ La forme exponentielle d’un nombre complexe est définie par : z=zeiθ physique-et-maths.fr

12. Formule de trigonométrie

cos(a+b)=cosa⋅cos b−sin a⋅sin b cos(a−b)=cosa⋅cosb+sin a⋅sin b sin(a+b)=sin a⋅cosb+sin b⋅cos a sin(a−b)=sin a⋅cosb−sin b⋅cosa physique-et-maths.fr

13. Nombres complexes et géométrie

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O; ⃗u;⃗v) Soient A, B, C et D des points du plan d’affixes z A , z B , z et z D Affixe d’un vecteur tout nombre complexe z=x+iy on associe le vecteur ⃗w (x; y) Propriétés : ⃗w s’appelle le vecteur image de z z s’appelle l’affixe de ⃗w ⃗ AB=z⃗ AB=z B−zA physique-et-maths.fr

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