base de ker f et im f

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PDF	Noyau et image des applications linéaires Définition Si f : E → F est une application linéaire son noyau noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ∈ Ef (v)=0} Exemple

Comment calculer ker et IM ?
Ker(f ) = {x f (x) = 0} = {x Ax = 0} = l'ensemble solutions du système Ax = 0 . {y (−1 1 ) y ∈ R} = 〈 (−1 1 ) 〉.
Donc une base est (−1 1 ) . aussi Im(f ) = 〈 (1 2 ) 〉.
Qu'est-ce que ker de F ?
Définition Si f : E → F est une application linéaire, son noyau, noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ∈ Ef (v)=0}.
Comment déterminer la dimension de IM F ?
La dimension de Im f est appelée rang de f et est notée rg f.
Proposition 6 – Soit f : E → F une application linéaire.
On pose Ker f = {x ∈ E ; f(x)=0} o`u0=0F .
Ker f est un sous-espace vectoriel de E appelé noyau de f.
Pour démontrer que Imf et kerf sont des sous-espaces supplémentaires, il suffit de montrer que leur intersection est réduite au vecteur nul.

Pour déterminer ker(f), il s'agit de trouver les solutions de AX = 0 et pour déterminer im(f), il s'agit de trouver les B pour lesquels AX = B a une solution, dans les deux cas échelonnons à l'aide de l'algorithme du pivot de Gauss le système suivant :   1 −1 3 −1 2 1 3 4 −1 2 −4 3   ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣   a b c   .

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Comment déterminer la base de KERF ?
Le noyau de f , noté par Ker(f ), est l'ensemble des antécédents du vecteur 0 : Ker(f ) = {x f (x) = 0} = {x Ax = 0} = l'ensemble solutions du système Ax = 0 .
Comment déterminer IMF et KERF ?
Il résulte de la formule de dimension : 3 = dimE = dim Imf + dim kerf = dim Imf + 1 . Ainsi, l'image de f est un espace vectoriel de dimension 2. D'apr`es le cours, puisque (e1,e2,e3) engendrent E, Imf est engendré par f(e1),f(e2),f(e3). Déterminons une base de Imf eche- lonnée dans la base (e1,e2,e3).
Comment déterminer une base de F ?
Pour trouver une base d'un sous-espace vectoriel F , on peut :
1chercher une famille génératrice B de F ;2si B est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre.
Définition Si f : E ? F est une application linéaire, son noyau, noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ? Ef (v)=0}.

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