montrer que c'est une base

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Comment savoir si c'est une base ?
Définition d'une base
Une famille de vecteurs de E est une base de E si c'est une famille à la fois génératrice de E et libre.
De façon équivalente, une famille est une base de l'espace vectoriel E quand tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une combinaison linéaire de vecteurs de cette base.
Comment montrer que U et V est une base ?
(U,V)=(2i,-j) signifie que u=2i et v=-j. (i,j) étant une base, alors les vecteurs i et j sont non colinéaires.
Ainsi, comme u est colinéaire à i, et v est colinéaire à j, alors (u,v) est aussi une base.
Comment montrer que les vecteurs forment une base ?
Comme nous avons trois vecteurs et nous souhaitons montrer qu'ils forment un base d'un espace vectoriel de dimension 3, il suffit de montrer que soit la famille est libre, soit elle est génératrice (ces conditions sont équivalentes pour n vecteurs dans un espace vectoriel de dimension n).
Une famille est une base si et seulement la matrice P formée par les vecteurs colonnes des coordonnées des vecteurs de la famille dans la base de référence est une matrice inversible.
Dans ce cas, P est la matrice de passage de la base de référence vers B'.
Ici, il s'agit de montrer que P=(231342112) est inversible.

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Comment démontrer que c'est une base ?
Définition d'une base
Une famille de vecteurs de E est une base de E si c'est une famille à la fois génératrice de E et libre. De façon équivalente, une famille est une base de l'espace vectoriel E quand tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une combinaison linéaire de vecteurs de cette base.
Comment montrer que les vecteurs forment une base ?
Si , et sont trois vecteurs non coplanaires, alors ils constituent une base de l'espace. On note cette base . Soit une base de l'espace, alors, pour tout vecteur de l'espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z) de réels tels que . Dans ce cas, on dit que l'on a décomposé en fonction de , et .
Comment montrer qu'une famille est libre ?
Autrement dit, une famille est libre lorsque la seule combili de ses vecteurs qui donne le vecteur 0 est celle dont tous les coefficients sont nuls. Inversément, une famille est liée lorsqu'il existe une combili de ses vecteurs qui donne 0 et dont les coefficients ne sont pas tous nuls.
Vect(A) est le plus petit sous-espace vectoriel contenant A. Si A ? B alors Vect(A) ? Vect(B). En particulier, si A est une partie génératrice de E et si B contient A alors B est aussi une partie génératrice de E. Vect(A) = {?1a1 + ··· + ?nan ?1,,?n ? K}.

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. Comparer cette valeur à C 4.
. Conclure.
. S’il y a égalité, la base est forte.

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