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Qu'est-ce que le cardinal d'une famille ?
définition le nombre d'éléments d'une base de E. base de E (une famille à la fois libre et génératrice) : le cardinal (nombre d'éléments) de cette famille donne la dimension de E.
Le théorème 4 de la dimension prouve que même si on choisissait une base différente alors ces deux bases auraient le même nombre d'éléments.
C'est quoi un r espace vectoriel ?
On appelle espace vectoriel réel (ou R-espace vectoriel) tout triplet (E,+,·) constitué d'un ensemble E et de deux lois « + » et « · » vérifiant les propriétés i) à viii) pour tous vecteurs u ,v, w dans E et pour tous nombres réels λ et µ.
Quelle est la dimension de R ?
L'ensemble des nombres réels R est souvent représenté par une droite.
C'est un espace de dimension 1.
Pour déterminer la dimension d'un espace vectoriel E, on détermine une famille B génératrice de E (ceci montre que E est de dimension finie), puis on vérifie que cette famille est libre.
La famille B est alors une base de E et le nombre de vecteurs dans la famille est la dimension de E.

Dimension et cardinal La dimension de l'espace vectoriel K est le cardinal de A. De cette affirmation découle la relation suivante, qui relie le cardinal du corps K des scalaires, le cardinal de l'espace vectoriel E, et sa dimension d sur K. (en particulier, |E| = 1 si d = 0, et |E| = |K| si K est infini et d ≠ 0).

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