montrer qu'une famille est une base

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Comment montrer qu'une famille de vecteurs est une base ?
Pour montrer que la famille {v1,v2,v3} est une base nous allons montrer que cette famille est libre et génératrice.
Ainsi les coefficients vérifient a = b = c = 0, cela prouve que la famille est libre.
Comment montrer qu'une famille est libre et génératrice ?
Si la famille \\(u_1, u_2,…, u_n\\) est libre, il suffit de montrer que la dimension de \\(E\\) est égale à \\(n\\) pour montrer que la famille est une base de \\(E\\) (donc est génératrice)._{14 avr. 2023}
Supposons donc que u et v soient colinéaires.
Alors, il existe λ ∈ K tel que u = λv et donc u − λv = 0 est une combinaison linéaire nulle à coefficients non nulles, donc la famille (u, v) est liée (donc n'est pas libre).

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Comment justifier qu'une famille est une base ?
Une famille de vecteurs de E est une base de E si c'est une famille à la fois génératrice de E et libre. De façon équivalente, une famille est une base de l'espace vectoriel E quand tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une combinaison linéaire de vecteurs de cette base.
Comment montrer que les vecteurs forment une base ?
Si , et sont trois vecteurs non coplanaires, alors ils constituent une base de l'espace. On note cette base . Soit une base de l'espace, alors, pour tout vecteur de l'espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z) de réels tels que . Dans ce cas, on dit que l'on a décomposé en fonction de , et .
Comment montrer qu'une famille est liée ?
Une famille à deux éléments ou plus est liée si et seulement si un des vecteurs de la famille peut s'exprimer comme combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille.
L'espace vectoriel R 3 a pour dimension 3 . La partie { u , v , w } contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que ( u , v , w ) est une base de R 3 , il suffit de démontrer que la partie { u , v , w } est une partie libre ou bien que la partie { u , v , w } est une partie génératrice de R 3 .

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Comment savoir si une famille est libre?

n= 0.
. Une famille qui n’est pas libre est dite liée.
. Autrement dit, une famille est libre lorsque la seule combili de ses vecteurs qui donne le vecteur ~0 est celle dont tous les coe?cients sont nuls.
. Inversément, une famille est liée lorsqu’il existe une combili de ses vecteurs qui donne ~0 et dont les coe?cients ne sont pas tous nuls.

Quelle est la différence entre une famille libre et liée?

Une famille qui n’est pas libre est dite liée.
. Autrement dit, une famille est libre lorsque la seule combili de ses vecteurs qui donne le vecteur ~0 est celle dont tous les coe?cients sont nuls.
. Inversément, une famille est liée lorsqu’il existe une combili de ses vecteurs qui donne ~0 et dont les coe?cients ne sont pas tous nuls.

Comment savoir si une famille est liée?

Lemme 8 Une famille est liée si et seulement si elle contient un vecteur qui est combili des autres vecteurs de cette famille.
. Proposition 9 Si G = {~u 1,,~u m} est une famille génératrice, alors il existe une sous-famille de G qui est une base.

Quelle est la différence entre le nombre d’éléments de n’importe quelle famille libre et la famille génératrice?

On a ainsi montré que le nombre d’éléments de n’importe quelle famille libre est inférieur ou égal au nombre d’éléments de n’importe quelle famille génératrice.
. En particulier le nombre d’éléments de n’importe quelle famille libre est inférieur ou égal à n (qui est le nombre d’éléments d’une base, donc famille génératrice).

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