forme bilinéaire et forme quadratique

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Comment déterminer la forme quadratique ?
On trouve chez certains auteurs une définition des formes quadratiques simplement à partir des formes bilinéaires.
La définition est alors la suivante : une application de dans est une forme quadratique s'il existe une forme bilinéaire (quelconque) telle que pour tout de on ait q ( x ) = φ ( x , x ) .
Comment trouver la forme bilinéaire ?
La forme bilinéaire duale
Il correspond à l'ensemble des formes linéaires, c'est-à-dire les applications linéaires de (ℝ³)* dans son corps des scalaires ℝ.
Cette forme bilinéaire est l'application, de (ℝ³)*×ℝ³ dans ℝ, qui au couple (d*, x) associe le réel 〈d*, x〉 image de x par la forme linéaire d*.
Comment montrer qu'une forme bilinéaire est symétrique ?
Pour montrer qu'une forme bilinéaire f est symétrique, on montre ∀ ( x , y ) ∈ E × E , f ( x , y ) = f ( y , x ) .
Soit E un espace vectoriel sur K , et Q une fonction de E dans K .
On dit que Q est une forme quadratique sur E s'il existe f:E×E→K f : E × E → K une forme bilinéaire symétrique telle que, pour chaque x de E , on ait Q(x)=f(x,x).

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Comment savoir si c'est une forme quadratique ?
Définition 17 – On dit qu'une forme quadratique q est définie si on a, pour tout x ? E, (x =0=? q(x) = 0). Proposition 18 – Si q est une forme quadratique définie, alors sa forme bilinéaire associée est non dégénérée.
C'est quoi un modèle quadratique ?
En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2 avec un nombre quelconque de variables.
Comment montrer une forme bilinéaire ?
Théorème : Pour montrer qu'une forme est bilinéaire symétrique, il suffit de montrer qu'elle est linéaire par rapport à une variable, au choix, et qu'elle est symétrique. en faisant jouer la symétrie et la linéarité par rapport à chaque variable. On obtient bien la deuxième linéarité.
Une application : f : E × F ?? G est dite K–bilinéaire (ou plus simplement bilinéaire), si ?x ? E, ?y ? F les applications partielles : y ?? f(x, y) et x ?? f(x, y) sont K–linéaires. Dans le cas o`u G est identique `a K, on dit que f est une forme bilinéaire.

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