projection orthogonale d'un vecteur sur un plan

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LEÇON N˚ 28 : Projection orthogonale sur une droite du plan

Projection orthogonale sur une droite du plan projection vectorielle associée Applications (calculs de distances et d’angles optimisation ) Pré-requis: – Structure d’espace afﬁne; – Produits scalaire et vectoriel; – Sommes directes; – Théorèmes de Thalès et de Pythagore

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ORTHOGONALITÉ DANS LESPACE

Définition : Un vecteur non nul a\"⃗ de l'espace est normal à un plan ) si a\"⃗ est un vecteur directeur d’une droite orthogonale au plan ) Propriété : Un vecteur non nul a\"⃗ de l'espace est normal à un plan ) s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de la direction de ) Propriété : Soit un point et un vecteur a

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CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS

DEFINITION 34 : LA PROJECTION ORTHOGONALE F ss-ev de E La projection orthogonale par rapport à F ’est la projetion sur F parallèlement à ⏟ ( ) ⏟ ( ) ( ) ( ) ’est-à-dire l’appliation : ( ) DEFINITION 35 : LA SYMETRIE ORTHOGONALE La symétrie orthogonale par rapport à F ’est l’appliation ( ) ( ) PROPOSITION 36 : ( ) base

Comment décomposer un vecteur quelconque de E en une composante orthogonale à F ?
On se place dans un espace préhilbertien E, de dimension quelconque. On se donne un sous-espace vectoriel F de E. Le problème de projection orthogonale sur F peut être énoncé ainsi : peut-on décomposer un vecteur quelconque de E en une composante sur F et une composante orthogonale à F ? La réponse dépendra en fait de l'espace F considéré.
Qu'est-ce que la projection orthogonale ?
Projection orthogonale d'un point A sur une droite (D). Propriétés associées à la projection. L'exemple le plus simple de projection se situe dans le plan usuel (affine euclidien) : la projection orthogonale sur une droite (D) d'un point A, notée p(D)(A), est le point H appartenant à (D) tel que les droites (D) et (AH) soient perpendiculaires :
Quelle est la mesure algébrique d’un vecteur orthogonal ?
De même, dans le cas de vecteurs orthogonaux, le vecteur projeté ne possède pas de composante dans la direction de l’autre vecteur, donc la mesure algébrique est égale à 0. Pour approfondir nos connaissances sur la projection d’un vecteur sur un autre, voyons quelques exemples.

Matrice dune projection orthogonale sur un plan

Comment trouver la matrice de la projection orthogonale sur un plan

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Projection orthogonale d'un point sur un plan ou sur une droite. On considère un plan P de l'espace dont on connaît un vecteur normal n et un point M extérieur au plan P. Le projeté orthogonal de M sur P est l'intersection du plan et de la droite de vecteur directeur n passant par M.

Comment calculer la projection orthogonale d'un vecteur sur un plan ?

Si D est une droite de l'espace, on appelle projection orthogonale sur D l'application qui à tout point M du plan associe le point M? tel que {M??D(MM?)?D { M ? ? D ( M M ? ) ? D M? est le point d'intersection de D et du plan normal à D passant par M .

Comment déterminer la projection orthogonale ?

La projection d'un vecteur ? �� dans la direction d'un autre vecteur ? �� , donne un scalaire.
. Ce scalaire décrit la composante du vecteur ? �� dans la direction du vecteur ? �� .
. La projection orthogonale d'un vecteur a une interprétation très similaire.

Comment faire la projection d'un vecteur ?

Former la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur P.
. On considère un espace vectoriel euclidien E muni d'une base orthonormée ?=(i,j,k). Former la matrice dans ? de la projection orthogonale sur le plan P d'équation x+y+z=0. Soit n=i+j+k un vecteur normal à P.

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