Prouver qu'une suite est vraie par récurrence

Dans toute la suite n appartient à N La démonstration par récurrence sert lorsqu' on veut démontrer qu'une propriété, dépendant de n, est vraie On est ainsi amené à montrer que la propriété 乡n est vraie pour toutes les valeurs de n 乡1 ?

et on montre que sous cette hypothèse la propriété 乡(n + 1) est vraie Exemple 1 Montrer par récurrence que pour tout entier n ⩾ 6, 2n ⩾ 6n + 7 Solution 1 Soit (un) la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = 1 2 un + 2

Théorème On veut prouver qu'une certaine propriété 乡(n), dépendant d'un entier naturel n, est vraie pour tout entier 

Il s'agit de montrer que la propriété P(n) : un+1 ≥ un est vraie pour tout n ≥ 0 ○ Initialisation : pour n = 0, u1 = 0 + 1 = 2, donc u1 ≥ u0 : donc P(0 ) 

27 sept 2011 · On souhaite prouver que cette suite est minorée par 2, c'est-à-dire que le principe de récurrence, la propriété Pn est vrai pour tout entier n

est vraie) Exemple On définit la suite par • • pour tout Montrer que la suite a pour forme Par un raisonnement par récurrence, on a prouvé que pour tout , la

et si pour tout entier n ≥ n0, P(n) ⇒ P(n + 1), alors P(n) est vraie pour tout On a prouvé que P(1) est vraie et que P(n) ⇒ P(n + 1) donc la propriété P(n) est vraie Exercice 2 - On définit la suite (un)n∈N par récurrence par u0 = 0, u1 = 1 et 

Le raisonnement par récurrence est un donc principe de démonstration, visant á établir alors, la propriété P (n) est vraie pour tout entier naturel n Exemple : Soit (un)n∈N une suite définie par u0 = 3 et un+1= 2un −1 pour tout n ∈ N Dé-

Le contexte : pour montrer qu'une propriété est vraie pour tout entier naturel (ou pour Conclure : finalement, d'après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour On considère la suite (un) définie par u0 := 1 et ∀n ∈ N, un+1 := une−un