Puissance d'une matrice

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1 Puissances dune matrice

TS Spé Maths Cours Puissance d'une matrice - Limite Démonstration On établit par récurrence la propriété pour les matrices diagonales d'ordre 2 Initialisation : La propriété est vraie pour p= 1 Hérédité : Soit p 1 un entier pour lequel A= a 0 0 b! p = an 0 0 bn! On a alors : A= a 0 0 b! p+1 = a 0 0 b! p a 0 0 b! = an 0 0 bn! a 0 0

PDF	Opérations sur les matrices Puissance d’une matrice •Pour une matrice carrée: 10 Transposée d’une matrice

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PDF	Exo7 Deux matrices sont égales lorsqu’elles ont la même taille et que les coefficients correspondants sont égaux L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est noté Mnp( K Les éléments de ) Mnp( R ) 1 DÉFINITION sont appelés matrices réelles

PDF	Chapitre 8 Matrices ☞ Toutes les puissances d’une matrice carrée A commutent entre elles 2 4 Polynômes de matrices Déﬁnition 5 Soient P(X) = anXn + + a1X + a0 ∈R[X] un polynôme et A ∈Mp(R) une matrice carrée On déﬁnit l’évaluation de P en A comme la matrice P(A) = anAn + +a1A+a0Idp ∈Mp(R)

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Chapitre 12 : Matrices généralités

4 2 Puissance d’une matrice carrée Définition 4 4 Les puissances de A ∈M n(R) sont définies par :A0 =I n et ∀k ∈N Ak+1 =AkA =AAk Savoir calculer les puissances d’une matrice est utile lorsque celle-ci s’interprète comme un opérateur et que l’on itère n fois l’opération Puissances d’une matrice diagonale : Soit D =

Comment calculer la puissance d'une matrice ?
Dans le but de calculer les puissances d’une matrice A, on peut être amener à "tranformer" la matrice A en une matrice plus simple (par exemple diagonale) à l’aide d’une matrice inversible.
Comment calculer la matrice ?
Montrer que la matrice (1 1 1) est combinaison linéaire de (1 2 3) et (4 5 6) mais pas de (1 2 3) et (−1 0 2). x − 2y + z = 0. Ainsi on a bien le résultat. Définition 3.1. Soit n, p,r trois entiers naturels non nuls. Soit A ∈ Mn,p(R) et B ∈ Mp,r(R). Exemple 3.2.
Quels sont les pièges d’une matrice ?
Premier piège. Le produit de matrices n’est pas commutatif en général. soient tous deux définis mais pas de la même taille. BA. Exemple 6. = 29 2 . Deuxième piège. 0. Il peut arriver que le produit de deux matrices non nulles soit nul. En d’autres termes, on peut avoir 0. Exemple 7. AB 0 0 . Troisième piège.
Comment résoudre une équation matricielle ?
(D’après EDHEC 1993) L’objection de l’exercice est de résoudre une équation matricielle, c’est à dire de trouver toutes les matrices Z ∈ M2(R) telles que Z2 = A, où A est une matrice de la forme 1 1 toute la suite, on désigne par P la matrice P = .

Définition 2.

Deux matrices sont égales lorsqu’elles ont la même taille et que les coefficients correspondants sont égaux. L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est noté Mn,p( K . Les éléments de ) Mn,p( R ) 1. DÉFINITION sont appelés matrices réelles. exo7.emath.fr

p. Leur somme C n

= A B est la matrice de taille + p définie c ij a = ij b ij. + En d’autres termes, on somme coefficients par coefficients. Remarque : on note indifféremment aij où ai,j pour les coefficients de la matrice A. exo7.emath.fr

2.4. Propriétés du produit de matrices

Malgré les difficultés soulevées au-dessus, le produit vérifie les propriétés suivantes : exo7.emath.fr

Exemple 13.

• Soit In la matrice carrée identité de taille n n. C’est une matrice inversible, et son inverse est elle-même par l’égalité InIn = In. La matrice nulle 0 de taille n n n’est pas inversible. En effet on sait que, pour toute matrice B de M n( K , on a ) exo7.emath.fr

Proposition 7.

Soient A et B deux matrices inversibles de même taille. Alors AB est inversible et exo7.emath.fr

1 1 AB B 1A

( ) = Il faut bien faire attention à l’inversion de l’ordre exo7.emath.fr

Simplification par une matrice inversible

Si C est une matrice quelconque de Mn(K), nous avons vu que la relation AC = BC où A et B sont des éléments de Mn( K n’entraîne pas forcément l’égalité ) A B. En revanche, si C est une matrice inversible, on a la proposition = suivante : exo7.emath.fr

Proposition 8.

Soient A et B deux matrices de Mn( K ) et C une matrice inversible de Mn( K . Alors l’égalité AC ) = BC implique l’égalité exo7.emath.fr

B CC

( ) d’après la définition de l’inverse AI BI, d’où = exo7.emath.fr

Théorème 1.

Un système d’équations linéaires n’a soit aucune solution, soit une seule solution, soit une infinité de solutions. exo7.emath.fr

Définition 8.

Deux matrices A et B sont dites équivalentes par lignes si l’une peut être obtenue à partir de l’autre par une suite d’opérations élémentaires sur les lignes. On note A B. exo7.emath.fr

Définition 9.

Une matrice est échelonnée si : • le nombre de zéros commençant une ligne croît strictement ligne par ligne jusqu’à ce qu’il ne reste plus que des zéros. exo7.emath.fr

Étape B.2. Élimination.

On élimine les termes situés au-dessus des positions de pivot comme précédemment, en procédant à partir du bas à droite de la matrice. Ceci ne modifie pas la structure échelonnée de la matrice en raison de la disposition des zéros dont on part. exo7.emath.fr

6.1. Matrices triangulaires, matrices diagonales

Soit A une matrice de taille n n. On dit que A est triangulaire inférieure si ses éléments au-dessus de la diagonale sont nuls, autrement dit : exo7.emath.fr

Définition 12.

Une matrice A de taille n est symétrique si elle est égale à sa transposée, c’est-à-dire si exo7.emath.fr

Exemple 22.

Pour une matrice B quelconque, les matrices B BT et BT B sont symétriques. Preuve : BBT T BT T BT BBT. Idem pour BT B. ( ) = ( ) = exo7.emath.fr

puissance dune matrice • Les 3 techniques pour calculer A^n • cours • Terminale S Spé maths

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Quel est le rôle de la matrice nulle dans le calcul matriciel?

La matrice (de taillen\u0002p) dont tous les coef?cients sont des zéros est appelée lamatrice nulleet est notée0n,pou plus simplement 0.
. Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels. 1.3.
. Addition de matrices Dé?nition 3(Somme de deux matrices).

Est-ce que le produit de matrices est commutatif ?

• Le produit de matrices n'est pas commutatif.
. En fait, l'existence du produit AB n'implique même pas celle de BA, mais même dans le cas des matrices carrées, par exemple, on a en général AB 6= BA.
. Dans le cas contraire, on dit que A et B commutent. • Parler de division de matrice n'a en général pas de sens.

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