Question sur les modulos

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Avant d’aller plus loi regardez les solutions des exercices

Voici à l’aide de deux exemples une autre manière de rechercher les modulos surtout intéressante lorsque l’on travaille avec des nombres négatifs : Premier exemple Pour calculer 134 (mod 8) on cherche le multiple de 8 qui est le plus proche de 134 et inférieur à 134 C’est 128

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Liste d’exercices no 1

On pose M∗ = HomA(M A) Définir une structure naturelle de A-module sur HomA(M N) Prouver que les A-modules M et HomA(A M) sont isomorphes On suppose A intègre Montrer que si M est un module de torsion (c’est-à-dire si (M) = M) alors M∗ = {0} Décrire le dual du Z-module Z/2Z Z ×

PDF	Modules Définition 1 1 1 Soit A un anneau Un module (à gauche) sur A ou A-module (à gauche) est un groupe abélien (M+) muni en outre d’une loi de composition externe A M telle que quels que soient ab ∈ A et xy × → M (ax) → ax ∈ M: (a + b)x = ax + bx a(x + y) = ax + ay 1x = x a(bx) = (ab)x

PDF	MODULUS FUNCTION PRACTICE Created by T Madas Created by T Madas Question 1 Solve the following equations a) 2 1 9x+ = b) 3 6− =x c) 3 4 3 1 14x− − = d) 3 2 3 1− + =x x = −4 5 x = − 39 12

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TD groupe A Modulos 10 janvier

Exercice 11 Alice collectionne les billes Elle sait qu’elle en a moins de 100 et quand elle les ordonne en rangées de 4 il lui en reste 2 quand elle les ordonne en rangées de 5 il lui en reste 1 et quand elle les ordonne en rangées de 7 il lui en reste 3 Combien Alice a-t-elle de billes? Exercice 12 Alice collectionne les billes

PDF	Congruences Chercher les carrés modulo nsigniﬁe chercher les nombres kparmi 0;1;:::;n 1 pour lesquelsilexisteunaaveca 2 k(mod n) Commea b=)a 2 b 2 (mod n)onpeutse restreindrepar le théorème4 2 aux aavec n

Quels sont les carrés modulo n ?
Les carrés modulo n sont les restes de la division euclidienne par n de 02; 12; 22; : : : ; n 2. 10. La représentation décimale d’un carré termine toujours en 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. Modulo 4 on a 02 0, 12 1, et 22 0 (mod 4). Modulo 8 on a 02 0; 12 1; 22 4; 32 1; 42 0 (mod 8): Théorème 5.1. (a) Tout carré est congru à 0 ou 1 modulo 4.
Comment calculer le modulo 8 ?
Modulo 8 on a 02 0; 12 1; 22 4; 32 1; 42 0 (mod 8): Théorème 5.1. (a) Tout carré est congru à 0 ou 1 modulo 4. (b) Tout carré est congru à 0, 1, ou 4 modulo 8. Théorème 5.2. (a) Aucun nombre de la forme 4k + 3 n’est la somme de deux carrés a2 + b2. (b) Aucun nombre de la forme 8k + 7 n’est la somme de trois carrés a2 + b2 + c2.
Comment savoir si 1 est un carré modulo ?
1 est un carré modulo p si et seulement si p est de la forme p = 2 ou p = 4k + 1. 1 n’est pas un carré modulo p si et seulement si p et de la forme p = 4k + 3. Donc 1 est un carré modulo p pour p = 2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 57, : : : et n’est pas un carré modulo p pour p = 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, : : : . Preuve.
Quel est le système de représentants modulo n ?
Les entiers congrus à 0; 1; 2 continuent à l’être, ceux congrus à 3 sont congrus à 2, et ceux congrus à 4 sont congrus à 1. En général, si on prend certains nombres a1; a2; : : : ; ar de la liste 0; 1; 2; : : : ; n 1 et on les remplace par b1; b2; : : : ; br avec ai bi (mod n) pour tout i, alors on a toujours un système de représentants modulo n.

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Comment utiliser le modulo ?

En informatique, l'opération modulo, ou opération mod, est une opération binaire qui associe à deux entiers naturels le reste de la division euclidienne du premier par le second, le reste de la division de a par n (n ? 0) est noté a mod n (a % n dans certains langages informatiques).

Comment montrer qu'un nombre est inversible modulo ?

Le nombre x poss? un inverse modulo n si et seulement si (x,n)=1.
. Or, par le théorème de Bézout, de tels y et k existent si et seulement si 1 est divisible par (x,n).
. Autrement dit, on doit avoir (x,n)=1 ce qui signifie que x poss? un inverse si et seulement si il est premier avec n.

Comment calculer le modulo d'un nombre négatif ?

Si nous travaillons modulo p, pour passer d'un nombre négatif x à son équivalent dans les classes [0, 1, .. , p - 1], il suffit de lui ajouter le nombre kp qui permet d'obtenir un nombre entre 0 et p - 1.
. Notation : On utilise souvent les notations – 1 ou – x pour désigner respectivement p – 1 ou p – x modulo p.

Quel est le dernier chiffre de 7 7 7 7 7 ?

On trouve que les deux derniers chiffres de 7^7^7^7^7^7^7 sont 1 et 3.

PDF	1) Modulo 5 des nombres suivants 2) Modulo 7 des nombres suivants : 14 ; 85 ; 24 ; 46 3) Modulo 8 des On peut aussi s'aider de la question 1 , en la présentant différemment : Puissance de 2

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