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Pourquoi l'ensemble R n'est pas dénombrable ?
Pour démontrer que ℝ est non dénombrable, il suffit de démontrer la non-dénombrabilité du sous-ensemble [0, 1[ de ℝ, donc de construire, pour toute partie dénombrable D de [0, 1[, un élément de [0, 1[ n'appartenant pas à D.
Soit donc une partie dénombrable de [0, 1[ énumérée à l'aide d'une suite r = (r₁, r₂, r₃, … ).
Est-ce que R est dénombrable ?
Comme R n'est pas dénombrable (théor`eme 1), il existe des nombres réels non algébriques, i.e. transcendants.
Les exemples qui préc`edent donnent envie de poser des questions plus générales.
Définition 15 Soient E et F deux ensembles.
On dit que E et F sont équipotents s'il existe une bijection de E sur F._{14 mai 2005}
Comment montrer qu'un ensemble n'est pas dénombrable ?
Selon la première, un ensemble E est dit dénombrable quand il existe une bijection entre l'ensemble N des entiers naturels et E (on dit qu'il est équipotent à l'ensemble N des entiers naturels).
C'est la définition originale de Cantor.
Alors x est bien dans [0,1[, et il est différent de tous les xn puisque son n -ème chiffre après la virgule est différent de xn : il y a une contradiction avec le fait que [0,1[={xn: n≥1} [ 0 , 1 [ = { x n : n ≥ 1 } et donc [0,1[ n'est pas dénombrable.

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Pourquoi l'ensemble R n'est pas dénombrable ?
Pour démontrer que ? est non dénombrable, il suffit de démontrer la non-dénombrabilité du sous-ensemble [0, 1[ de ?, donc de construire, pour toute partie dénombrable D de [0, 1[, un élément de [0, 1[ n'appartenant pas à D. Soit donc une partie dénombrable de [0, 1[ énumérée à l'aide d'une suite r = (r₁, r₂, r₃, … ).
Est-ce que R est dénombrable ?
R n'est pas dénombrable. Il suffit de montrer que le segment [0,1[ ne l'est pas. Pour cela, on applique une méthode connue sous le nom de procédé diagonal de Cantor.
Comment montrer qu'un ensemble n'est pas dénombrable ?
Alors ?n ? 1, x = xn car an = an,n, ce qui est une contradiction. Un sous-ensemble A ? R tel que ? A = 0, n'est pas dénombrable. R n'est pas dénombrable. L'ensemble des nombres réels irrationnels n'est pas dénombrable (si tel n'´tait pas le cas, R = (R ? Q) ? Q) serait dénombrable).
En mathématiques, un ensemble est dit dénombrable, ou infini dénombrable, lorsque ses éléments peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée par les entiers.

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Pourquoi l'ensemble R n'est pas dénombrable ?

Plus généralement, un produit fini d'espaces dénombrables est dénombrable, une réunion finie ou dénombrables d'espaces finis ou dénombrables est fini ou dénombrable.
. R n'est pas dénombrable. Il suffit de montrer que le segment [0,1[ ne l'est pas.

Est-ce que R est dénombrable ?

L'ensemble N, qui est en bijection avec par exemple N^*, est donc infini, et de même tout ensemble dénombrable est infini.
. On a même : Proposition — Un ensemble qui contient un ensemble dénombrable est en bijection avec une de ses parties propres (en particulier il est infini).

Est-ce que n'est dénombrable ?

En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement s'il existe un entier n et une bijection de E sur l'ensemble des entiers naturels strictement plus petits que n, en particulier, si n = 0, E est l'ensemble vide. qui est donc bien fini.

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