développement limité usuels en l'infini pdf

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Comment déterminer le développement limité ?
Exemple.
Calculons le DL de la fonction f(x) = sin x/ cos x à l'ordre 3 au point 0. cos x = 0, on peut appliquer le critère précédent.
On a sin x = x − x3 6 + x3ε1(x), cos x = 1 − x2 2 + x3ε2(x).
En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes.
Ils permettent également l'obtention d'équivalents.

Comment justifier l'existence d'un développement limité ?

On prouve aisément qu'un développement limité, s'il existe, est unique, c'est-à-dire que si f s'écrit à la fois f(x)=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+(x−x0)nε1(x) f ( x ) = a 0 + a 1 ( x − x 0 ) + ⋯ + a n ( x − x 0 ) n + ( x − x 0 ) n ε 1 ( x ) et f(x)=b0+b1(x−x0)+⋯+bn(x−x0)n+(x−x0)nε2(x), f ( x ) = b 0 + b 1 ( x − x 0 ) + ⋯ +

Comment montrer qu'une fonction admet un développement limité ?

Soit f une fonction définie sur I.
Soit g la fonction qui à h associe g(h) = f(a + h).
La fonction f admet un développement limité d'ordre n en a, si et seulement si g admet un développement limité d'ordre n en 0. f(x) = Pn(x) + o((x − a)n) ⇐⇒ g(h) = f(a + h) = Pn(a + h) + o(hn) .

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