Analyse complexe

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Analyse complexe

L’analyse est l’ etude approfondie du calcul di erentiel et int egral Ce cours porte sur le calcul di erentiel et int egral des fonctions complexes d’une va-riable complexe Il s’agit d’un premier cours sur le sujet ou les propri et es des nombres complexes et l’extension aux fonctions de ces nombres des fonctions

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Analyse Complexe

Ce document présente un cours d'analyse complexe destiné aux étudiants de licence 3 de mathématiques Il aborde les notions de fonctions holomorphes de séries de Laurent de résidus de théorèmes de Cauchy et de transformations conformes Il contient de nombreux exemples exercices et applications

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Analyse complexe (Notes de cours)

Analyse complexe (LMI6 33) I Lecorpsdesnombrescomplexes 1 Introduction La r esolution d’ equations et en particulier d’ equations polynomiales a sous-tendu l’ evolution des math ematiques depuis l’Antiquit e Les equations du premier et du second degr e ont et e r esolues par les Babyloniens environ 2000 ans avant notre ere Les

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Analyse Complexe

L’objet de l’analyse complexe est l’ ́etude de fonctions Nous rappelons les r` egles de calcul avec les nombres complexes et nous discutons la diff ́erentiabilit ́e dans (qui est diff ́erente de la diff ́erentiabilit ́e dans ) Les fonctions holomorphes (c -` a-d diff ́erentiable dans ) poss` edent des propri ́et ́es surprenantes qui seront ana

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Complex Analysis Lecture Notes

1 Introduction: why study complex analysis? These notes are about complex analysis the area of mathematics that studies analytic functions of a complex variable and their properties While this may sound a bit specialized there are (at least) two excellent reasons why all mathematicians should learn about complex analysis First it is in my

Quels sont les plus beaux exercices d’analyse complexe ?

Les plus beaux exercices d’Analyse Complexe font découvrir de multiples exemples d’intégrales qu’il semble impossible de calculer en recherchant des changements de va- riables astucieux, mais qui deviennent simples et transparentes quand on s’autorise à prendre son envol vers l’imaginaire. Voici alors un autre exemple, classique : Z 1 0 1 cosx x2

Quels livres introduisent le sujet d'analyse complexe ?

Il y a un grand assortiment de livres qui introduisent le sujet d’analyse complexe (voir le rayon 30 a ` la biblioth` eque de la section de math ́ ematiques et aussi le rayon 27 pour des trait ́ es g ́ en ́ eraux d’analyse). Des livres sur l’analyse de Fourier se trouvent au rayon 42. En voici quelques ex- emples.

Qu'est-ce que l'analyse complexe ?

Nous traitons les singularit ́ es et le calcul de r ́ esidus dans le chapitre III. L’objet de l’analyse complexe est l’ ́ etude de fonctions . Nous rappelons les r` egles de calcul avec les nombres complexes et nous discutons la diff ́ erentiabilit ́ e dans (qui est diff ́ erente de la diff ́ erentiabilit ́ e dans ).

Qu'est-ce que la théorie du calcul intégreal complexe ?

La th ́ eorie du calcul int ́ egral complexe nous permet de mieux comprendre les fonctions holomorphes et analytiques introduites au chapitre I. Comme motivation de la d ́ efinition suivante, consid ́ erons une fourmi se promenant sur le plan complexe.

Diff ́erentiabilit ́e dans

L’objet de l’analyse complexe est l’ ́etude de fonctions . Nous rappelons les r` egles de calcul avec les nombres complexes et nous discutons la diff ́erentiabilit ́e dans (qui est diff ́erente de la diff ́erentiabilit ́e dans ). Les fonctions holomorphes (c.-` a-d., diff ́erentiable dans ) poss` edent des propri ́et ́es surprenantes qui seront ana

Corollaire 7.7 (th ́eor` eme d’inversion local) Soit dans et soit . Si (avec

ouvert) analytique , la fonction est localement biholomorphe, c.-`a-d., elle est biholomorphe entre des voisinages de et de . unige.ch

Chemins et courbes

Comme motivation de la d ́efinition suivante, consid ́erons une fourmi se promenant sur le plan complexe. On peut d ́ecrire son chemin en donnant `a chaque instant la position de la fourmi, i.e., les deux coordonn ́ees et . D ́efinition 1.1 Un chemin ou une courbe param ́etr ́ee dans est une fonction continue d’un intervalle ferm ́e dans , c

D ́efinition 1.3 (longueur d’arc) La longueur de la courbe param ́etr ́ee

est Un changement des coordonn ́ees ( repr ́esentant d’une courbe. De plus, on a ) montre que cette d ́efinition est ind ́ependante du et . unige.ch

Exemple.

Consid ́erons la parabole Comme param ́etris ́ee par . , on obtient pour la longueur d’arc entre et unige.ch

D ́emonstration. Si

est continˆ ument diff ́erentiable, on a Dans le cas o` u est seulement continˆ ument diff ́erentiable par morceaux, il faut appliquer ce raisonnement a ` chaque sous-intervalle o` u la fonction est continˆ ument diff ́erentiable. unige.ch

eme 5.1 (formule int ́egrale de Cauchy 1831)

ferm ́ee parcourant dans le sens positif. Soit Soit un domaine ́etoil ́e et une courbe holomorphe dans un voisinage de l’adh ́er- ence unige.ch

Th ́eor` eme 7.1 (in ́egalit ́es de Cauchy) Soit tion on a pour

holomorphe dans le disque l’estimation . Avec la nota- unige.ch

Singularit ́es et fonctions m ́eromorphes

“Les singularit ́es sont extrˆemement importantes car on peut en tirer quelque chose en analyse complexe, cette branche des math ́ematiques qui ́etudie les fonctions d ́efinies sur un domaine du plan complexe ” (www.techno-science.net, Astrophysique) Des fonctions r ́eelles avec des singularit ́es nous sont famili` eres (cours Analyse I), par exem

5) Une formule d’Euler. Pour d ́emontrer

nous posons de la figure avec et nous considerons le chemin petit et grand. Le petit demi-cercle est n ́ecessaire pour ́eviter le pˆ demi-cercle , ole a ` l’origine. peut ˆetre estim ́ee a` l’aide de L’int ́egrale sur le grand sur par Elle converge vers z ́ero si . Comme la fonction chemin ferm ́e, une int ́egration sur ce chemin donne pour est ho

Si est continˆ ument diff ́erentiable, alors

Sur l’intervalle compact on a est a ` variation born ́ee. . Le th ́eor`eme de Lagrange nous donne alors Une fonction peut etre ˆ a ` variation born ́ee sans etre ˆ continue. Consid ́erons, par exemple, des fonctions en escalier. Une fonction peut etre ˆ continue sans ˆetre a ` variation born ́ee. Une exemple est la fonction sur l’intervalle . unige.ch

Equations aux d ́eriv ́ees partielles

Contrairement aux ́equations diff ́erentielles ordinaires (voir le cours “Analyse II, partie r ́eelle”), les ́equations aux d ́eriv ́ees partielles ont comme fonction inconnue une fonction de plusieurs variables et l’ ́equation contient des d ́eriv ́ees partielles. Les s ́eries de Fourier ont ́et ́e les premiers outils pour leur solution. Nous c

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