Relation d'ordre dans xRy

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Relation d’´equivalence relation d’ordre

xRy ⇐⇒ xey = yex est une relation d’´equivalence Pr´eciser pour x ﬁx´e dans R le nombre d’´el´ements de la classe de x modulo R 2 Relation d’ordre Exercice 4 Soit (E6) un ensemble ordonn´e On d´eﬁnit sur P(E) \\ {∅} la relation R par XRY ssi (X = Y ou ∀x ∈ X ∀y ∈ Y x 6 y) V´eriﬁer que c’est une relation

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CHAPITRE Relations d’ordre I1 Ordre et ordre strict

• transitive quand ∀xyz ∈ E xRy et yRz ⇒ xRz D´eﬁnition (ordre) Une relation binaire est un ordre (ou une relation d’ordre) quand elle est r´eﬂexive sym´etrique et transitive D´eﬁnition (ensemble ordonn´e) Soit E un ensemble et 4 une relation d’ordre sur E On dit que (E4) est un ensemble ordonn´e

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Relations binaires Relations d’équivalence et d’ordre

3 RELATION D’ORDRE Exemples : • Les relations 6 >sur R sont des relations d’ordre tandis que < et > ne le sont pas par manque de réﬂexivité • La relation de divisibilité est une relation d’ordre sur N∗ (mais pas sur Z∗) : – ∀n ∈ N∗ nn donc est réﬂexive – nn′ et n′n ∃kk ′∈N∗

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Chapitre 5 Lois de composition internes

D e nition 5 13 { Soit R une relation d’ordre dans un ensemble E On dit que R est une relation d’ordre total si pour chaque (x;y) de E E on a (xRy ou yRx) C’est une relation d’ordre partiel sinon Exemples - La relation dans R est une relation d’ordre total Soit X = f0;1;2g la relation ˆ dans l’ensemble E = P(X) est une relation

Qu'est-ce que la relation d'ordre ?
Exemples. - Dans l’ensemble des nombres r\u0013eels, l’in\u0013egalit\u0013e large x \u0014y est une relation d’ordre. - Dans l’ensemble des nombres naturels, la relation a divise b, not\u0013ee ajb est une relation d’ordre. - Dans l’ensemble des parties d’un ensemble, la relation A ˆB est une relation d’ordre.
Comment définir une relation d’équivalence ?
Montrer que est une relation d’équivalence. est une relation d’équivalence. Préciser, pour [0212] . Soit (E;6) un ensemble ordonné. On définit sur (E) n f/0g la relation Vérifier que c’est une relation d’ordre. Un dessin permettra d’avoir une bonne idée de ce qui se passe... Pour la transitivité on pourra calculer xyez.

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Comment montrer une relation d'ordre ?

Une relation d'ordre est une relation binaire réflexive, antisymétrique et transitive : soit E un ensemble ; une relation interne ? sur E est une relation d'ordre si pour tous x, y et z éléments de E : x ? x (réflexivité) (x ? y et y ? x) ? x = y (antisymétrie)

Comment savoir si une relation d'ordre est totale ?

Définition (ordre total) Un ordre ? sur E est dit total si deux éléments sont toujours comparables : ?x, y ? E, x ? y ou y ? x.
. Un ordre qui n'est pas total est dit partiel.

Comment montrer que R est une relation d'équivalence ?

Propriété d'être transitif.
. On dit d'une relation T qu'elle est transitive dans un ensemble E si pour tous les élément x , y , z de E tels que l'on a x T y et y T z , alors on a x T z .

Quand Dit-on qu'une relation est réflexive ?

Définitions.
. Soit R une relation sur un ensemble E.
. R est réflexive si pour tout x ? E, on a xRx; R est symétrique si pour tout x, y ? E, on a xRy ? yRx; R est antisymétrique si pour tout x, y ? E, (xRy et yRx) ? x = y ; R est transitive si pour tout x, y, z ? E, (xRy et yRz) ? xRz.

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