ensemble compact définition

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Tout espace métrique fini est compact.
L'ensemble R des nombres réels n'est pas compact.

Qu'est-ce qu'une partie compacte ?

Une partie K de E est dite compacte si, de toute suite (un) d'éléments de K , on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K .
En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.

Qu'est-ce qu'un espace métrique compact ?

Définition 3.1.
1) On dit qe (E,d) est un espace métrique compact si toute suite d'éléments de (E,d) admet une suite extraite convergeant vers un point de E.
Une partie A de E est dite compacte si le sous-espace métrique (A, d) est compact.

Quand Dit-on qu'un ensemble est compact ?

On dit que (X, d) est compact s'il a la propriété suivante : pour toute suite (xn) d'éléments de X, il existe une sous-suite (xnk ) qui converge dans X.
Un exemple fondamental d'espace compact est donné par un intervalle fermé borné (un segment) de R ou, plus généralement n'importe quelle partie fermée bornée de R.

Soit(E,T) un espace topologique et A un sous-ensemble de E. On dit que A est un ensemble compact si, muni de la topologie induite par celle de E, il devient un espace compact. Par exemple, tous les sous-ensembles finis d'un espace topologique quelconque sont des ensembles compacts.

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