signature d'une forme quadratique exemple

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C H A P I T R E 2 F O R M E S Q U A D R A T I Q U E S

Soit b une forme bilinéaire sur E L’application et appelée forme quadratique associée Remarque : l’ensemble des formes quadratiques sur E est un espace vectoriel sur Remarque : La forme quadratique q associée à b est nulle ssi b est alternée est linéaire Son noyau est l’espace des formes bilinéaires alternées

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TD7 : formes quadratiques

D ecomposer sous forme de combinaison lin eaire de carr es les formes quadratiques r eelles suivantes; en d eduire leur signature et leur rang a) f(x;y;z) = x2 2y2 + xz+ yz b) f(x;y;z) = 2x2 2y2 6z2 + 3xy 4xz+ 7yz c) f(x;y;z) = 3x2 + 3y2 + 3z2 2xy 2xz 2yz d) f(x;y;z;t) = xy+ yz+ zt+ tx: e) f(x 1;:::;x n) = P 1 i

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UFR MATH EMATIQUES

Remarque - La r eciproque est fausse Il existe des formes bilin eaires non d eg en er ees ayant une forme quadratique non d e nie Par exemple si E= R2 ’(x;y) = x 1y 1 x 2y 2 est non d eg en er ee et q(x) = x 2 1 x 2 est non d e nie car q(1;1) = 0 3 Formes quadratiques positives D e nition 19 { Une forme quadratique qde E est dite

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Leçon 171 : Formes quadratiques réelles Coniques Exemples

On peut présenter les liens entre la classification des formes quadratiques et celles des coniques ; de même il est inté-ressant d’évoquer le lien entre le discriminant de l’équation ax2 + bx + c = 0 et la signature de la forme quadratique ax2 + bxy + cy2

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VI Formes quadratiques

Signature d’une forme quadratique Th eor eme (Loi d’inertie de Sylvester) Soit q : E !R une forme quadratique Il existe une base B= (e 1;:::;e n) de E q-orthogonale et des entiers r et s v eri ant : 1 0 r r + s n 2 q(P n i=1 x ie i) = x 2 1 + + x r 2 x2 r+1 x 2 r+s 3 rg(q) = r + s 4 pour toute base q-orthogonale C= (f 1;:::;f n) r est

Comment calculer la forme quadratique ?
On en deduit que, si i 6 = j, alors '(ei; ej) = 0. La base (e1; : : : ; en) est donc orthogonale pour q. De plus, q(ei) = i`i(ei)`i(ei) = i. pour q. 2 q(x) = 1 `1(x) + + p `p(x) 2. La forme quadratique q est positive si et seulement si les i sont tous positifs.
Quelle est la signature de la forme quadratique ?
De nition 31 { Le couple (s; t) s'appelle la signature de la forme quadratique q. Demonstration : soient (e1; : : : ; en) et (f1; : : : ; fn) deux bases orthogonales pour la forme quadratique q.
Qu'est-ce que la forme quadratique associée ?
L’application et appelée forme quadratique associée. La forme quadratique q associée à b est nulle ssi b est alternée. est linéaire. Son noyau est l’espace des formes bilinéaires alternées. Toute forme quadratique q sur E est associée à une et une seule forme bilinéaire symétrique. On l’appelle a forme polaire et on la note .
Quels sont les différents types de forme quadratique ?
I-3 Rang et noyau d'une forme quadratique I-4 Formes quadratiques non dégénérées II Orthogonalité II-1 Bases orthogonales relativement à une forme quadratique II-2 Signature d'une forme quadratique III Décomposition en carrés d'une forme quadratique III-1 Méthode de Gauss III-2 Exemples III-3 Décomposition dans une base de vecteurs propres

DEFINITION 13 : FORME QUADRATIQUE

Soit b une forme bilinéaire sur E. L’application et appelée forme quadratique associée. Remarque : l’ensemble des formes quadratiques sur E est un espace vectoriel sur Remarque : La forme quadratique q associée à b est nulle ssi b est alternée. est linéaire. Son noyau est l’espace des formes bilinéaires alternées. licence-math.univ-lyon1.fr

PROPOSITION 13 :

Toute forme quadratique q sur E est associée à une et une seule forme bilinéaire symétrique. On l’appelle a forme polaire et on la note . d’où Q(E)= dim est un isomorphisme (car inj et de même dimension) Pour calculer la partie symétrique de b licence-math.univ-lyon1.fr

PROPOSITION 14 : FORME DE POLARISATION

Soit q une forme quadratique de forme polaire . Alors est donnée par . licence-math.univ-lyon1.fr

PREUVE:

Il faut montrer que q lui est associée. est bilinéaire symétrique licence-math.univ-lyon1.fr

DEFINITION 14 : REPRESENTATION MATRICIELLE

On appelle matrice associée à q dans B la matrice de sa forme polaire licence-math.univ-lyon1.fr

PROPOSITION 15 :

Soit q forme quadratique représentée par A dans B. Soit B’ une autre base et A’ la matrice de q dans B’ et P la matrice de passage de B à B’. Alors et licence-math.univ-lyon1.fr

DEFINITION 16 : MORPHISME

et espaces quadratiques : Un morphisme d’espaces quadratiques : Et Un morphisme injectif est une isometrie Un morphisme bijectif est un isomorphisme Morphisme : diagramme commutatif E u F q q’ K Remarque : Les isomorphismes d’espaces quadratiques donnent une relation d’équivalence sur l’ensemble des formes quadratiques , si et ) sont isomorphes alo

PROPOSITION 16 :

et espaces quadratiques. , formes polaires associées à suivantes sont équivalentes : alors les assertions licence-math.univ-lyon1.fr

PREUVE:

linéaire bijection tel que donc ( ) donc On considère l’application tel que ( ) C’est une forme bilinéaire Elle est symétrique Sa forme quadratique associée est ( ) Donc il s’agit de (par unicité de sa forme polaire) licence-math.univ-lyon1.fr

CORROLAIRE 17 :

q,q’ 2 formes quadratiques sur des espaces de dimensions finies sont équivalentes : Leurs matrices associées sont congruentes Dans les bonnes bases elle ont la même matrice et même polynôme Domaine, dimension, rang, noyau dim finie q forme quadratique, b forme polaire licence-math.univ-lyon1.fr

DEFINITION 17 : DOMAINE

est représenté par q si On appelle domaine de q l’ensemble On dit que q est universelle si tel que { Exemple : . } { } est universelle , Toute forme quadratique non nulle sur est universelle. Soit Soit . Soit et il existe tel que donc tel que . q forme quadratique sur qui n’est pas négative ni positive alors elle est universelle licence-math.univ-lyon1.fr

PROPOSITION 19 :

Pour tout Le rang de q, noté le noyau de q est le noyau de est Exemple : ) ( ) Remarque : Si alors . licence-math.univ-lyon1.fr

DEFINITION 20 : FORME QUADRATIQUE REGULIERE OU DEGENEREE

On dit que q est régulière (ou non dégénérée) Si { }. Sinon on dit qu’elle est dégénérée. Ex : si En particulier , ( ) ( ) ( ) donc q est régulière. licence-math.univ-lyon1.fr

DEFINITION 21 : ISOTROPE

est isotrope si S’il existe un vecteur isotrope non nul, on dit que q est isotrope. licence-math.univ-lyon1.fr

Exemple :

les vecteurs isotropes sont les éléments de Remarque : Si X est isotrope alors tous les , { } { } sont isotropes. licence-math.univ-lyon1.fr

Exemple :

) Remarque : Co(q) n’est pas en général un sous-espace vectoriel de E ( ) { } par contre ( d’où licence-math.univ-lyon1.fr

DEFINITION 24 : DETERMINANT D’UNE FORME QUADRATIQUE

{ } Cette application est bien définie On appelle det(q) l’image de q par cette application c’est le déterminant de q. licence-math.univ-lyon1.fr

DEFINITION 25 : AUTOMORPHISME

Un automorphisme orthogonal de est un isomorphisme u de dans L’ensemble des automorphismes orthogonaux est noté licence-math.univ-lyon1.fr

PROPOSITION 21 :

L’ensemble O(q) est un sous-groupe de GL(E) exemple : non isotrope C’est la réflexion orthogonal de E associée à a. C’est un automorphisme orthogonal de E. : est la symétrie de E par rapport à parallèlement à Vect(a) licence-math.univ-lyon1.fr

On note { } C’est le groupe special orthogonal

On le note aussi souvent . On note son complémentaire . licence-math.univ-lyon1.fr

DEFINITION 28 : BASE ORTHONORMEE

Une base est orthonormée si elle est orthogonale et , licence-math.univ-lyon1.fr

LEMME 23:

Si famille orthogonale de vecteurs non isotropes. Alors elle est libre. licence-math.univ-lyon1.fr

PREUVE:

(∑ ) ∑ Donc et donc la famille est libre. Existence de bases orthogonales. licence-math.univ-lyon1.fr

THEOREME 24:

Tout espace quadratique de dimension finie admet une base orthogonale. CONSEQUENCE : Il existe une matrice diagonale qui représente q. q représenté par un polynôme , . base de et des tel que licence-math.univ-lyon1.fr

PREUVE:

Par récurrence sur Si n=1, il n’y a rien à démontrer Supposons que c’est vrai Soit Si de dimension n. toutes les bases sont orthogonales Sinon, tq Soit { } : linéaire. et Si mais donc On applique l’hypothèse de récurrence à H. Soit base orthogonale de H, on a donc est une base orthogonal de E. licence-math.univ-lyon1.fr

COROLLAIRE 25:

Toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale licence-math.univ-lyon1.fr

DEFINITION 30 : MATRICE SYMETRIQUE

base dans laquelle q est représentée par ( ). F= car représentée par la matrice A. G= car représentée par la matrice( ). On en déduit que Soit ss-ev de E tq et Regardons { } alors ⏟ Donc On a de même . Rmq : 2 formes quadratiques réelles de même dimension ayant la même signature sont équivalentes. équivalentes même signature. Rmq : 2 f

SIGNATURE et SIGNE dune FORME QUADRATIQUE

Rang et signature dune forme quadratique

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La signature d'une forme quadratique (ou d'une forme bilinéaire symétrique ) est le couple d'entiers où est le nombre de coefficients positifs dans une décomposition de en carrés et le nombre de coefficients négatifs.

C'est quoi une relation quadratique ?

Fonction f définie par une relation de la forme f(x) = ax2 où le paramètre a, différent de 0, caractérise l'ouverture et le sens de la concavité du graphique en forme de parabole qui représente cette fonction dans un plan cartésien.

Comment montrer qu'une forme quadratique est definie ?

Définition 17 – On dit qu'une forme quadratique q est définie si on a, pour tout x ? E, (x =0=? q(x) = 0).
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