sous espace propre matrice

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Comment trouver les sous-espaces propres d'une matrice ?
Une fois déterminées les valeurs propres d'un endomorphisme, s'il y en a, on peut rechercher les vecteurs propres associés.
Cela revient à résoudre l'équation linéaire f ( v ) = λ v , c'est-à-dire à déterminer Ker ( f − λ I d E ) .
Si jamais il y a une valeur propre λ pour laquelle dim(Eλ)<mult(λ), ⁡ ( E λ ) < mult ( λ ) , alors A n'est pas diagonalisable (voir cet exercice).

C'est quoi un espace propre ?

L'espace propre associé à λ est l'ensemble des vecteurs qui ont pour image 0 par cette application.
On appelle cet ensemble le noyau de l'endomorphisme u – λ Id.
Les propriétés générales établissent que cet ensemble est un sous espace vectoriel.
Celui-ci est non réduit à 0 par définition d'une valeur propre.

Comment savoir si c'est un sous espace vectoriel ?

Soit E un -espace vectoriel.
Une partie F de E est appelée un sous-espace vectoriel si : • 0E ∈ F, • u + v ∈ F pour tous u, v ∈ F, • λ · u ∈ F pour tout λ ∈ et tout u ∈ F.

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Comment déterminer le Sous-espace propre d'une matrice ?

Une fois déterminées les valeurs propres d'un endomorphisme, s'il y en a, on peut rechercher les vecteurs propres associés.
. Cela revient à résoudre l'équation linéaire f ( v ) = ? v , c'est-à-dire à déterminer Ker ( f ? ? I d E ) .

Comment calculer la dimension d'un sous-espace propre ?

tout sous-espace propre poss? une dimension égale à la multiplicité algébrique de la valeur propre associée. toute représentation matricielle M de u est diagonalisable, c'est-à-dire peut s'écrire sous la forme M = PDP^?¹ avec P et D matrices respectivement inversible et diagonale.

Quand la matrice est diagonalisable ?

Une matrice carrée à coefficients dans K ( K = R ou K = C ) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K et, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.

Comment montrer les valeurs propres d'une matrice ?

Pour déterminer/trouver les valeurs propres d'une matrice, calculer les racines de son polynôme caractéristique.
. Exemple : La matrice 2x2 (d'ordre 2) M=[1243] M = [ 1 2 4 3 ] a pour polynôme caractéristique P(M)=x2?4x?5=(x+1)(x?5) P ( M ) = x 2 ? 4 x ? 5 = ( x + 1 ) ( x ? 5 ) .

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