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Un critère de convergence normale
La série ( ∑ f n ) converge normalement sur si et seulement si : il existe une série numérique à termes positifs convergente ( ∑ a n ) ; ( ∀ n ∈ N ) ( ∀ x ∈ I ) f n ( x ) ≤ a n .

Comment étudier la convergence d'une série de fonction ?

Pour démontrer qu'une suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f sur I , on peut : étudier les variations de la fonction fn−f f n − f sur I (en la dérivant par exemple) afin de déterminer supx∈Ifn(x)−f(x) sup x ∈ I f n ( x ) − f ( x ) et de démontrer que cette quantité tend vers 0 (voir cet exercice);

Comment montrer qu'une série de fonction est bien définie ?

Si on considère une suite définie à partir d'un certain rang n 0 ( u n ) n ≥ n 0 , on note alors la série ∑ n ≥ n 0 u n ou ∑ u n s'il n'y a pas d'ambiguïté.
Un cas très fréquent est celui où la suite est définie pour n ≥ 1 .
C'est le cas des séries de Riemann ou séries de terme général 1 n s ( n ≥ 1 , s ∈ R ) .

Comment montrer qu'une suite de fonction est convergente ?

Définition : Soit I un intervalle de R , (fn) une suite de fonctions définies sur I , et f définie sur I .
On dit que (fn) converge simplement vers f sur I si pour tout x appartenant à I, la suite (fn(x)) ( f n ( x ) ) converge vers f(x) .
Ex : I=[0,1] I = [ 0 , 1 ] et fn(x)=xn f n ( x ) = x n .

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C'est quoi une suite divergente ?

On dit qu'une suite réelle diverge si elle ne converge pas.
. Une suite divergente peut soit avoir une limite infinie, soit n'avoir aucune limite.

C'est quoi une suite convergente ?

Définition : La suite (un) admet le réel pour limite si : Tout intervalle ]a ; b[ contenant , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
. On dit alors que la suite est convergente.

Comment montrer qu'une suite de fonction est continue ?

Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon".

Comment montrer qu'une série de fonction converge simplement ?

Soit I un intervalle, (fn) une suite de fonctions de I dans R et f:I?R f : I ? R .
. On dit que (fn) converge simplement vers f sur I si : ??>0, ?x?I, ?n0?N tel que ?n?n0, fn(x)?f(x)??.

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