theoreme d unicité de la limite

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Pourquoi la limite d'une fonction est unique ?
Une fonction f tend vers le réel L quand x tend vers le réel a si, pour tout intervalle ouvert J centré en L, il existe un intervalle ouvert I centré en a tel que, pour tous les réels x appartenant à I, f\\left(x\\right) appartient à J.
Quand elle existe, la limite d'une fonction en un réel est unique.
Comment montrer l'unicité ?
Pour démontrer l'unicité d'un élément satisfaisant une propriété, la méthode la plus courante consiste à introduire deux variables pour lesquelles la propriété est satisfaite (« Soit x et x′ tel que … »), puis à démontrer l'égalité entre ces deux variables.
Comment montrer l'unicité d'une limite ?
Démonstration dans le cas de deux limites finies.
Soit donc ℓ et ℓ′ deux limites supposées distinctes (et telles que ℓ<ℓ′ ) d'une fonction f:I→R f : I → R en un point x0 .
Posons ε=ℓ′−ℓ3>0 ε = ℓ ′ − ℓ 3 > 0 .

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Le théorème d'unicité de Cantor indique que deux séries trigonométriques qui ont la même limite simple ont les mêmes coefficients.

Comment montrer que la limite d'une suite est unique ?

Si une suite converge, sa limite est unique.
. Ceci étant vrai pour tout ?, on en déduit que l ? l = 0, donc que l = l . (Nous avons utilisé le fait (trivial) suivant : si un réel positif est plus petit que toute quantité strictement positive, alors il est nul.)

Comment montrer l'unicité d'une suite ?

En général le truc pour montrer l'unicité d'un élément mathématique c'est de supposer qu'il existe un deuxième élément qui vérifie la même propriété et de montrer qu'il est en fait égal au premier élément.

Comment déterminer la limite d'une suite ?

On considère un nombre q strictement positif et la suite (un) définie pour tout entier positif ou nul n par un=qn.
. La règle de calcul de limite est simple : si 0<q<1 alors limqn=0. si q=1 alors limqn=1.

Comment calculer la limite d'une suite définie par récurrence ?

2.8 Limites des suites récurrentes.
. On présente une approche assez générale pour résoudre les exercices qui consistent à déterminer la limite d'une suite récurrente.
. Les suites à étudier sont des récurrences linéaires de la forme x_n₊₁ = qx_n + b ou x_n₊₁ = (1 -q)x_n + qx_n_-₁ et des récurrences non-linéaires x_n₊₁ = f(x_n).

Comment calculer la limite d'une fonction ?

On dit que la fonction f admet la limite L en a si pour tout voisinage V de L, il existe un voisinage U (à gauche ou à droite) de a tel que f(U) ? V . On démontre que le réel L de la définition, lorsqu'il existe, est unique et on l'appelle limite de f au point p. On le note :

Quelle est la limite à droite d'une fonction ?

La limite à droite est +? : La limite de x ? x2 en 3 est égale à 9 (dans ce cas la fonction est définie et continue en ce point et la valeur de la fonction est égale à la limite) : La limite de x ? xx en 0 est égale à 1 : La limite de x ? ( (a + x)2 – a2)/x en 0 est égale à 2 a : La limite à droite de x ?...

Comment calculer les limites ?

Afin d’unifier les différentes formulations de limites, on recourt à la notion de voisinage, qui s’applique à tout réel (éventuellement à droite ou à gauche) et à l’infini (en +? ou en ?? ). On utilise aussi la notation R = R ? {??, +?} de la droite réelle achevée .

Comment montrer qu'une suite admet une limite ?

Si une suite admet une limite, alors cette limite est unique. Soit une suite. Supposons qu'elle admette 2 limites distinctes et montrons qu'on obtient une absurdité. L'assertion étant vraie , elle est vraie pour . Donc : En remplaçant par la valeur de , .

Unicité de la limite Théorème et définition : Soit (un)n?N une suite de nombres réels et soit ? ? R. Si la suite (un)n?N converge vers ?, alors ? est unique. On l'appelle la limite de la suite (un)n?N et on note :

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