Théorème de comparaison, Terminale S

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Établir la convergence ou la divergence d'une suite vers ou .
Soit (u_n) et (v_n) deux suites.
On dit que la suite (u_n) est majorée par la suite (v_n) si u_n ≤ v_n à partir d'un certain rang p, c'est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, u_n ≤ v_n.

Le théorème suivant montre la propriété dite de prolongement des inégalités : il exprime en effet que si deux suites convergentes sont comparables leurs limites vérifient la même inégalité.

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Le théorème suivant montre la propriété dite de prolongement des inégalités : il exprime en effet que si deux suites convergentes sont comparables leurs limites vérifient la même inégalité.

Comment savoir quand utiliser le théorème de comparaison ?

Il faut obligatoirement que les suites et convergent vers la même limite.
. Si elles ne convergent pas vers la même limite, alors le théorème des gendarmes ne fonctionnent pas.
. Exemple : les suites constantes.
. Les suites convergent bien, on a également , mais n'a pas la même limite que les autres suites.

Comment comparer deux suites ?

Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont équivalentes, alors elles ont le même signe à partir d'un certain rang.
. Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont équivalentes, alors l'une converge si et seulement si l'autre converge.
. Dans ce cas, leurs limites sont égales.

Comment comparer des limites ?

S'il est possible de comparer deux fonctions sur un intervalle alors leurs limites sur cet intervalle respectent le même ordre.
. Soit f(x) et g(x) deux fonction définies sur un intervalle commun [b ; c ] et "a" un point de cet intervalle.

Quelle est la limite de n ?

n?N est infinie, ce n'est pas dire que n vaut l'infini à partir d'un certain rang ou quelque chose de métaphysique.
. Dire qu'une suite (un) tend vers l'infini, cela veut dire que si on choisit un réel A (on peut ajouter « aussi grand que l'on veut »), alors un est plus grand que A à partir d'un certain rang.

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