topologie pour les nuls

PDF	Topologie ©LaurentGarcin MPDumontd’Urville Exemple1 2Intervallesdeℝ Lesintervallesouvertsdeℝ(i e delaforme]????????[)sontdesouverts(cesontdesboulesouvertes)demêmequeles

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Topologie

Ce cours se compose de six chapitres Chaque chapitre est subdivisé en sec-tions et se termine par plusieurs exercices dont la plupart sont corrigés Le premier chapitre introduit la notion de norme et de distance sur un ensemble E donné qui en fait un un espace métrique Plusieurs exemples de normes et de distances sont donnés notamment sur l’ens

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Cours ENS topalg

1 2 Remarques sur les prérequis de topologie On supposera connues les notions de topologie générale suivantes (voir l’appen-dice A et les références [Bou Dug Dix Pau2]) Seules les notions marquées d’une étoile (*) seront rappelées en cours Au point de vue méthodologie il est demandé

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L3 Topologie des espaces métriques Fiche 1 : Ensembles et

d) Toujours en supposant que d est la métrique discrète sur X déterminer quelles sont les partie de X qui sont ouvertes dans (Xd) Même question pour les fermés Exercice 4 Soit E un R-espace vectoriel Montrer que pour la distance associée à une norme k k l’adhérence de la boule ouverte B(01) est la boule fermée B˜(01) Exercice 5

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Introduction a la Topologie

Ce cours s’adresse a des etudiants de Licence en math ematiques Il a pour objectif de donner les bases en topologie indispensables a toute formation en math ematiques Il ne s’agit pas d’un trait e complet sur le sujet qui n’est pas neuf De nombreux livres parfois tr es fournis (ceux donn es dans la bibliographie par exemple

PDF	COURS DE TOPOLOGIE (L3) Universit e Lille 1 On utilise le iii) de la d e nition Pour Q on pose J k= na b 2Q jjaj k+ 1; 0

Comment calculer la topologie faible ?
homéomorphe à l’ensemble R2 muni de la topologie faible définie par la famille des rayons vectoriels de R2. On note alors f(x) −→ l ou lim f(x) = l. Lorsque A est sous-entendu, par exemple quand A vaut X ou le domaine de définition de f, on dit aussi que f admet pour limite l en a, et on note lim f = l. Exemple. Exemple. Si De même pour −∞.
Comment Efini-t-on une topologie sur Kn ?
On d ́ efini une topologie sur kn par: les ferm ́ es sont les lieux de zero d’un id ́ eal de polynˆ omes dans k[x1, . . . xn]. Exercice 2.76. Montrer que cela d ́ efini bien une topologie. Exercice 2.77. Montrer que pour k = C cette topologie n’est pas Haussdorf, donc pas m ́ etrisable. Exercice 2.78.
Qu'est-ce que la topologie de X ?
Si Y est séparé, la topologie de X est la topologie faible définie par la famille {Y } ∪ {fα(eα)}α de fermés de X. Les eα (par abus fα(eα)) s’appellent les ◦ cellules de X relatives à Y . On identifie eα avec son image dans X par ◦ fα, et on appelle les eα les cellules ouvertes de X relatives à Y . Ce sont les composantes connexes de X − Y .
Quels sont les différents types de topologie ?
En math ́ ematique la topologie est ` a la base des ́ etudes d’analyse fonction- nelle, de topologie alg ́ ebrique, de g ́ eom ́ etrie alg ́ ebrique, th ́ eorie des cat ́ egories, de topologie di↵ ́ erentielle et de g ́ eom ́ etrie riemannienne et symplectique.

1 Contenu du cours

Ce cours se compose de six chapitres. Chaque chapitre est subdivisé en sec-tions et se termine par plusieurs exercices dont la plupart sont corrigés. Le premier chapitre introduit la notion de norme et de distance sur un ensemble E donné qui en fait un un espace métrique. Plusieurs exemples de normes et de distances sont donnés, notamment sur l’ens

2 Les objectifs généraux

Le but de ce cours est de présenter et d’étudier les principaux concepts topologiques dans le cadre élémentaire des espaces métriques plutôt que dans le cadre général des espaces topologiques. Notamment, les concepts d’espaces métriques complets, d’espaces métriques compacts et d’espaces métriques connexes. pf-mh.uvt.rnu.tn

3 Les objectifs spécifiques

Au terme de ce cours, l’étudiant doit Maitriser le concept de norme et de distance . Etre en mesure de comparer deux distances. Etudier la nature d’une suite dans un espace métrique. Déterminer les valeurs d’adhérences d’une suite. Maitriser les concepts d’ouvert, de fermé, de voisinage d’un point, de partie dense. Etre en mesure d’exprimer la cont

4 Le public cible

Ce cours s’adresse particulièrement aux étudiants de licence de mathéma-tiques ou mathématiques appliquées, ayant une bonne familiarité avec le calcul différentiel et intégral de fonctions d’une ou plusieurs variables et les espaces vectoriel de dimension finie, ainsi qu’aux étudiants des grandes écoles d’ingénieurs. pf-mh.uvt.rnu.tn

5 Les prérequis

Ce cours s’appuie principalement sur des connaissances de base en analyse réelle et complexe . Cependant, pour bien assimiler les divers chapitres, il est recommandé de bien connaitre les différents chapitres du cours de mathé-matiques de la deuxième année de licence. En particulier, les chapitres sur les suite et séries numériques, les fonctions d

6 Conseils de lecture

Ce cours a été élaboré sous forme d’un texte simple, pratique et aussi auto-contenu que possible. Pour les théorèmes, les auteurs ont opté pour des énoncés simples plutôt qu’optimaux. Des remarques, des exemples et des exercices apportent des illustrations ou des applications ou viennent, quel-quefois, suggérer des ouvertures et extensions plus sop

r > 0. Les ensembles suivants

B(a, r) = {x ∈ E d(a, x) < r} B(a, r) = {x ∈ E d(a, x) ≤ r} S(a, r) = {x ∈ E d(a, x) = r} sont appelés respectivement boule ouverte, boule fermée et sphère de centre pf-mh.uvt.rnu.tn

a et de rayon r.

Il est clair que {a} ⊂ B(a, r) ⊂ B(a, r). En particulier, aucune boule n’est vide. Il n’en est pas de même des sphères. pf-mh.uvt.rnu.tn

0 f(t)

Montrer que ces deux normes ne sont pas équivalentes. pf-mh.uvt.rnu.tn

Exercice 2.9.1.

Soit A une partie non vide de R. Montrer que si A est majorée, alors sup(A) appartient à A. Montrer que si A est minorée, alors inf(A) appartient à A. pf-mh.uvt.rnu.tn

Exercice 2.9.3.

Soient E et F deux espaces métriques et E F × l’espace métrique produit. Montrer que si A ⊂ E et B ⊂ F , on a pf-mh.uvt.rnu.tn

Bf(a, r) = B(a, r)

Ces résultats restent-ils vrais dans un espace métrique quelconque ? pf-mh.uvt.rnu.tn

Exercice 2.9.5.

Montrer que, si A est une partie convexe d’un espace vectoriel normé E, il o en est de même de A et A. pf-mh.uvt.rnu.tn

Exercice 2.9.7.

Montrer que si A est une partie d’un espace vectoriel normé E et O est un ouvert de E, alors l’ensemble A + O défini par pf-mh.uvt.rnu.tn

Bn(f)(x) =

n f(k/n)Bn,k(x) En remarquant que n f(x) − Bn(f)(x) = (f(x) − f(k/n)) Bn,k(x), montrer que la suite de fonctions (Bn(f)) converge uniformément vers pf-mh.uvt.rnu.tn

Exercice 2.9.4

i) Par définition, B(a, r) ⊂ Bf(a, r), donc B(a, r) ⊂ Bf(a, r). Puisque Bf(a, r) est un fermé, on a Bf(a, r) = Bf(a, r) et par suite B(a, r) Bf(a, r). Soit ⊂ x ∈ Bf(a, r). Si kx − ak < r alors x est dans B(a, r) donc dans B(a, r) ; si kx−ak = r, alors la suite (xn) de B(a, r) définie par xn = a + (r − pf-mh.uvt.rnu.tn

n kx − ak

converge vers x, ce qui prouve que x est dans B(a, r). On a donc l’égalité B(a, r) = Bf(a, r). o o ii) L’inclusion B(a, r) ⊂ Bf(a, r) implique que B(a, r) pf-mh.uvt.rnu.tn

o ⊂ Bf(a, r).

Or, B(a, r) est un ouvert, B(a, r) = B(a, r) et par suite B(a, r) ⊂ o Bf(a, r). Soit maintenant x dans E\\B(a, r), c’est-à-dire kx − ak ≥ Montrons que x ne peut pas être intérieur à Bf(a, r), c’est-à-dire que r. pour tout ρ > 0, B(x, ρ) n’est pas incluse dans Bf(a, r). En effet, l’élément pf-mh.uvt.rnu.tn

0 = d(x, A) = lim

n→+∞ d(x, an) Cela montre que (an) converge vers x et celui-ci est donc dans A. pf-mh.uvt.rnu.tn

Exercice 2.9.10

L’ensemble F est un sous-espace vectoriel de dimension finie, il est donc complet et par suite c’est un fermé dans Mn(R). La suite (Sm) définie par pf-mh.uvt.rnu.tn

Sm =

m akAk est une suite de F qui converge vers B. Il en résulte que B est dans F et par suite il existe p ∈ R[X] tel que B = p(A). pf-mh.uvt.rnu.tn

≤ ε λ > A =⇒ 2

D’autre part, Z f(t) pN(t))eiλt dt − ≤ − a)kf − pNk∞ Si bien que > A =⇒ pf-mh.uvt.rnu.tn

Xk+1 − L = A(Xk − L)

. Par récurrence, il en résulte que, pour tout k, on a pf-mh.uvt.rnu.tn

Exercice 3.4.3.

Soient E et F deux espaces métriques et f : E → Montrer que f est continue si et seulement si f(A) une application. ⊂ f(A) pour toute partie A de E. Montrer que f est fermée si et seulement si f(A) ⊂ f(A) pour toute partie A de E. o Montrer que f est ouverte si et seulement si f A toute partie A de E. o ⌢ ⊂ f(A) pour (d) Montrer que si f est biject

Exercice 3.4.5.

Soit (E, d) un espace métrique. Soit A une partie de E. Montrer que l’application fait correspondre d(x, A) est qui à x E ∈ 1-lipschitzienne. Soient A et B deux fermés disjoints de E. Montrer qu’il esiste deux ouverts U et V de E, disjoints tels que A ⊂ U et B ⊂ V . pf-mh.uvt.rnu.tn

Exercice 3.4.6.

Soit A une partie non vide d’un espace métrique E. Montrer que diam(A) = diam(A) A-t-on toujours diam(A) = diam( o A) ? pf-mh.uvt.rnu.tn

Exercice 3.4.8.

i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn i. On pose A = {(x, y) ∈ I × I x < y} et f(x) f(y) g((x, y) = − pf-mh.uvt.rnu.tn

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Mot à mot, la topologie est la science des lieux (du grec logos = discours au sens discursif : étude, raisonnement et topos = lieu, site). Cette topologie s'intéresse aux propriétés qualitatives et aux positions relatives d'objets mathématiques dans un ensemble donné, indépendamment de leurs mesures.

Comment peut comprendre la topologie ?

En mathématiques, le mot topologie désigne l'étude des propriétés de continuité des fonctions, de limite des suites,etc Mais ceci correspond aussi à une définition très précise : Définition : Soit O une famille de parties d'un ensemble X .

Quelle est la définition de topologie ?

Nom commun. (Géométrie, Mathématiques, Topologie) Branche des mathématiques qui étudie les relations de position dans l'espace. (Sociologie) Étude des positions sociales et des rapports sociaux.

Quel est le but de la topologie ?

Le terme « topologie » est issu du grec topos, qui désigne le lieu, et logos, le savoir.
. Plus simplement, la topologie est l'étude des lieux.
. Cette science, qui appartient au domaine des mathématiques, traite des questions de proximité entre entités mathématiques.

Quelles sont les 5 relations topologiques ?

Les relations topologiques exploitées dans ce contexte sont l'adjacence, la connectivité, l'inclusion et l'intersection.

Qu'est-ce que la topologie ?

L'origine de la topologie provient des problèmes qu'ont posés les progrès de l'analyse fonctionnelle dans l'étude rigoureuse des fonctions continues, de leur dérivabilité, de leurs limites en un point (fini ou non), de l'existence d'extremums, etc...

Quels sont les espaces topologiques ?

L'exemple fondamental que nous prendons est le cas de (la droite de pour être rigoureux...). Les espaces topologiques forment le socle conceptuel dans lequel les notions de limite, de continuité ou d'équivalance sont définies.

Quels sont les cours sur la topologie ?

COURS SUR LA TOPOLOGIE 1 Espace topologique 2 Espace métrique et distance#N#2.1. Distances équivalentes#N#2.2. Fonctions lipschitziennes 3 Ensembles ouverts et fermés#N#3.1. Boules#N#3.2. Parties#N#3.3. Boules généralisées#N#3.4. Diamètre 4 Variétés More ...

Quelle est la différence entre topologie et Geometrique?

1En topologie, on pr\u0013ef\u0012ere parler de points plut^ot que d’\u0013el\u0013ements d’un ensemble. Cette nuance traduit mieux l’intuition \\g\u0013eom\u0013etrique". 2Il n’est pas n\u0013ecessaire de mettre dans la d\u0013e\fnition de la distance d(x;y) 2R

La topologie est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés d'objets géométriques préservées par déformation continue sans arrachage ni recollement, comme un élastique que l’on peut tendre sans le rompre.

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