signature forme quadratique

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C H A P I T R E 2 F O R M E S Q U A D R A T I Q U E S

DEFINITION 13 : FORME QUADRATIQUE Soit b une forme bilinéaire sur E L’application et appelée forme quadratique associée Remarque : l’ensemble des formes quadratiques sur E est un espace vectoriel sur Remarque : La forme quadratique q associée à b est nulle ssi b est alternée est linéaire

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PDF	II Classification des formes quadratiques

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TD7 : formes quadratiques

Or il existe une forme quadratique anisotrope sur P si et seulement si le corps K n’est pas quadratiquement clos : il su t de consid erer la forme f(x;y) = x2 y2 sur K2 ou 2 K n(K)2 En particulier ce cas n’arrive pas sur un corps alg ebriquement clos La forme f a une unique droite isotrope si et seulement si rang(f) = 1 Ceci arrive

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UFR MATH EMATIQUES

Corollaire 16 { Une forme bilin eaire ’est non d eg en er ee si et seulement si Ker q= f0g ou qest la forme quadratique associ ee a ’ D e nition 17 { On dit qu’une forme quadratique qest d e nie si on a pour tout x2E (x6= 0 = )q(x) 6= 0) Proposition 18 { Si qest une forme quadratique d e nie alors sa forme bilin eaire associ ee

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VI Formes quadratiques

Mise en pratique (Exemple 2 : forme quadratique sans carr es) Soit R4 muni de la base canonique B= (e 1;e 2;e 3;e 4) et consid erons la forme quadratique q d e nie par q(x;y;z;t) = xy + xz + 2yz + zt: On commence par regrouper les termes ou x et y apparaissent les termes ou seulement x apparait et les termes ou seulement y apparait On a

Quelle est la signature de la forme quadratique ?
De nition 31 { Le couple (s; t) s'appelle la signature de la forme quadratique q. Demonstration : soient (e1; : : : ; en) et (f1; : : : ; fn) deux bases orthogonales pour la forme quadratique q.
Qu'est-ce que la forme quadratique associée ?
L’application et appelée forme quadratique associée. La forme quadratique q associée à b est nulle ssi b est alternée. est linéaire. Son noyau est l’espace des formes bilinéaires alternées. Toute forme quadratique q sur E est associée à une et une seule forme bilinéaire symétrique. On l’appelle a forme polaire et on la note .
Comment savoir si une forme quadratique est positive ?
Puisque x0 6 = 0, on en déduit que j est dégénérée. En résumé, si Q est de signe constant, j est dégénérée ou encore si j est non dégénérée, Q n’est pas de signe constant. 0. Donc Q est une forme quadratique positive.
Quelle est la forme quadratique de Q ?
Les trois valeurs propres de A sont strictement positives et donc la forme quadratique Q est de rang 3 et de signature (3;0). est définie positive. 3.

SIGNATURE et SIGNE dune FORME QUADRATIQUE

Rang et signature dune forme quadratique

Cours Formes quadratiques : Base q-orthogonale

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Quelle est la signature de la forme quadratique ?
La signature de la forme quadratique est le triplet (n ₀ , n ₊ , n _? ) , où n ₀ est le nombre de 0 et n _± est le nombre de ?. La loi d'inertie de Sylvester montre qu'il s'agit d'une quantité bien définie attachée à la forme quadratique.
Comment déterminer le signe d'une forme quadratique ?
La signature d'une forme quadratique (ou d'une forme bilinéaire symétrique ) est le couple d'entiers où est le nombre de coefficients positifs dans une décomposition de en carrés et le nombre de coefficients négatifs.
Comment montrer q Une application est une forme quadratique ?
On trouve chez certains auteurs une définition des formes quadratiques simplement à partir des formes bilinéaires. La définition est alors la suivante : une application de dans est une forme quadratique s'il existe une forme bilinéaire (quelconque) telle que pour tout de on ait q ( x ) = ? ( x , x ) .
Indice : L'indice de la forme quadratique est égal au nombre de valeurs propres positives de la matrice de forme quadratique. Signature : L'indice de la forme quadratique est égal à la différence entre le nombre de valeurs propres positives et le nombre de valeurs propres négatives de la matrice de forme quadratique.

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Quelle est la différence entre une forme quadratique et un plan vectoriel?

Finalement, une forme quadratique sur un plan vectoriel admet soit aucune droite isotrope, soit une droite isotrope, soit deux droites isotropes, soit toutes les droites de P sont isotropes.
. Tous ces cas arrivent sur tout corps K, sauf le premier (aucune droite isotrope) qui existe si et seulement si Kn’est pas quadratiquement clos.

Comment calculer la matrice d’une forme quadratique?

B 2d’un même vecteurs sont alors liéesparlarelationmatricielle X= PX0: 18 2.2.2 Matrice d’une forme quadratique Concernant les formes quadratique, on va voir que l’on peut représenter toute forme quadratique en nvariables comme un produit matriciel basé sur une matrice carrée de taillen
.Soitparexemple q(x;y) = ax2+ bxy+ cy2: EnnotantX=

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