toute suite croissante majorée converge

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Est-ce que tout suite bornée est convergente ?
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : u_n = (–1)ⁿ est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
Est-ce que toute suite convergente est majorée ?
Sens de variation, convergence et majoration/minoration
Si une suite est croissante et converge vers L, alors elle est majorée par L.
Si une suite est décroissante et converge vers L, alors elle est minorée par L.
a) la suite (un) est croissante si pour tout n ∈ : un ⩽ un+1 ; b) la suite (un) est décroissante si pour tout n ∈ : un ⩾ un+1 ; c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est constante si pour tout n ∈ : un+1 = un.

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Théorème 2 Toute suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure. Toute suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure.

Est-ce que toute suite croissante est minorée ?

Si une suite (u_n) est croissante et admet une limite "l" alors elle est majorée et "l" est un majorant.
. Par ailleurs son premier terme est celui qui la plus petite valeur donc cette suite est aussi minorée et le premier terme est un minorant: Une suite croissante qui converge est une suite bornée.

Qu'est-ce qu'une suite croissante majorée ?

Soit une suite croissante de réels, si est majorée, elle est convergente et lim n ? + ? u n = sup { u n , n ? N } , si n'est pas majorée, elle tend vers .

Comment savoir si une suite converge ?

Une suite (un) converge une limite finie l si et seulement si la suite d'indices pairs (u2n) et la suite d'indices impairs (u2n+1) convergent toutes les deux vers cette même limite.
. Remarque : Si deux suites extraites d'une même suite (un) n'ont pas la même limite, alors la suite (un) n'est pas convergente.

Comment montrer qu'une suite est croissante et majorée ?

Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 ? un. ? Si un+1 ? un est positive, alors la suite (un) est croissante. ? Si un+1 ? un est négative, alors la suite (un) est décroissante.

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