unicité de la limite d une fonction en un point

PDF	Unicité de la limite Démonstration : On suppose que la suite (un) converge vers deux limites l1 et l2 avec l1 < l2 On note d = l2 −l1 Comme la suite (un) converge vers l1

Unicité : On suppose qu'il existe une solution f.
On montre que forcément f = bidule.
Donc il y a une seule possibilité.
Existence : On montre que, réciproquement, la formule bidule est solution.

Comment montrer l'unicité d'une limite ?

Démonstration dans le cas de deux limites finies.
Soit donc ℓ et ℓ′ deux limites supposées distinctes (et telles que ℓ<ℓ′ ) d'une fonction f:I→R f : I → R en un point x0 .
Posons ε=ℓ′−ℓ3>0 ε = ℓ ′ − ℓ 3 > 0 ._{10 mai 2020}

10 mai 2020 · Preuve : unicité de la limite d'une fonction. Démonstration dans le cas de deux limites finies. Soit donc ℓ ℓ et ℓ′ ℓ ′ deux limites supposées Autres questions

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Démonstration dans le cas de deux limites finies. Soit donc ? et ?? deux limites supposées distinctes (et telles que ??=????3>0 ? = ? ? ? ? 3 > 0 .

Qu'est-ce que l'unicité de la limite ?

Dans un espace topologique séparé, on a unicité de la limite de toute suite : si une suite converge, sa limite est unique.
. Mais une suite peut ne pas avoir de limite (dans ce cas, on n'a pas existence de la limite, ce qui ne remet pas en cause l'unicité).

Quand une fonction admet une limite en un point ?

Si une fonction admet l et l pour limites en un même point x0, alors l = l .
. Proposition 2.2.3.
. Soit f : D ? R une fonction, et soit x0 ? D.
. Si f admet une limite en x0, alors celle-ci est forcément égale `a f(x0).

Comment montrer que la limite d'une suite est unique ?

Si une suite converge, sa limite est unique.
. Ceci étant vrai pour tout ?, on en déduit que l ? l = 0, donc que l = l . (Nous avons utilisé le fait (trivial) suivant : si un réel positif est plus petit que toute quantité strictement positive, alors il est nul.)

Comment montrer la continuité en un point ?

La fonction f est dite continue au point a si f(a) est une limite de f en ce point.
. Si F est séparé (ou même seulement T₁) comme tout espace métrisable, il suffit pour cela qu'il existe une limite de f en ce point.

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