unicité de la limite d'une fonction démonstration

Théorème (Unicité de la limite) Soient f : D −→ une fonction et a ∈ adhérent à D Démonstration Par hypothèse, il existe un voisinage Va de a sur lequel :

démonstration : Supposons que f admette deux limites ℓ1 = ℓ2 au point a Soit ε > 0 Alors Grâce à l'unicité de la limite, on peut introduire la notation suivante :

Si une fonction admet l et l pour limites en un même point x0, alors l = l Démonstration Même principe que pour l'unicité de la limite d'une suite Nous avons 

(même démonstration, en utilisant des voisinages de ∞+ ) - Si R ∈ +∞= l a B) Théorème (unicité de la limite éventuelle) Théorème : Soit R → Df : , soit

2) L'unicité de la limite en un point est due `a l'existence, pour tout η > 0, d'un élément x1 de Df tel que x0 tout nombre réel est limite quand x tend vers −1 de la fonction f définie sur Df = {−1} ∪ [0,+∞[ vont simplifier les démonstrations

Théorème 2 (unicité de la limite) Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R, non vide et de longueur non nulle, à valeurs dans R (resp C) Soit a un réel 

Fonctions réelles ou complexes de variable réelle : limites et continuité (Sup) Théorème 1 1 : unicité d'une limite en un point Soit I un intervalle de , et f une 

LimitES dE FoNCtioNS 1 1 Retour sur les M ontrons l'unicité (si elle existe) de la limite C eci parait Attention, toute fonction / n'a pas tou ours de limite ( finie ou non) en a P ar La démonstration du théorème est omise, car trop difficile

2- Unicité de la limite Si lim x f x l , alors la limite l est unique Démonstration En effet, supposons qu'il existe deux limites distinctes l1 et l2 On peut alors définir