examen mecanique analytique
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EXERCICES DE MECANIQUE ANALYTIQUE (L2-L3)
Christian Carimalo 3 Exercices de M ecanique Analytique constante et egale a c>V sachant qu’ a la date t= 0 alors que le li evre passe au point (b;0) le chien qui se trouvait en (0;0) commence sa course-poursuite avec la vitesse initiale |
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Exercices et Controˆles Corrig´es de M´ecanique Analytique et
Rappeler ce qu’est un d ́eplacement virtuel et qu’appelle-t-on par le travail virtuel en g ́en ́eral ? Que devient ce travail si le syst`eme est statique ou se d ́eplace avec un mouvement uniforme ? Consid ́erons une masse m plac ́ee en A et reli ́ee par deux tiges rigides aux points et B Les barres de logueur OA = AB = l sont articul ́ees en A L |
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Eléments du Cours de Mécanique Analytique
les coordonnées La mécanique analytique permet d’établir les équations du mouvement en éliminant les forces de liaison comme on le verra par la suite et fournit les outils nécessaires pour déterminer les forces de contact Nous allons donner quelques définitions des contraintes que nous utilise-rons dans la suite de ce cours |
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Mécanique Analytique examen nal
Mécanique Analytique examen nal Epreuve du 24 juin 2010 ; durée : 2h45 ; sans document ni calculatrice Exercice 1 : Chariot (10 points) Un chariot de masse M peut glisser sur des rails le long de l\'axe x sans friction A l\'extrêmité d\'une tige rigide de longeur l et de masse nulle est xée une masse m |
Qu'est-ce que le calcul analytique ?
Il s’agit d’une d’une part d’une formulation très mathématisée et adaptée au calcul analytique – d’où le nom qui a déjà été utilise par Joseph-Louis Lagrange [1] – et d’autre part d’une formulation sous l’angle de différents “principes”.
Comment Poincaré analytique a-t-il introduit les solutions points singuliers ?
On peut construire une vue globale prolongeant analytiquement les courbes aux voisinages des points système système. en guliers ment aux du voisinages système. Ce qui permet Poincaré analytique a introduit les solutions points singuliers et détendre continument de de restreindre la résolution seule- n d’un système.
Qu'est-ce que la mécanique analytique ?
La mécanique analytique peut être considérée comme une formulation élégante de la mécanique classique de Newton qui permet de travailler en coordonnées adaptées a la symétrie du problème considéré et de réduire le nombre de degrés de liberté sans introduire des forces de contraintes.
Quelle est la différence entre la mécanique analytique et le formalisme ?
conceptuelle Le formalisme par rapport de la mécanique analytique pas de nouveauté tefois, l’approche mieux adaptée à de nombreux domaines de la physique moderne.
1.1.1 Exercice
Rappeler ce qu’est un d ́eplacement virtuel et qu’appelle-t-on par le travail virtuel en g ́en ́eral ? Que devient ce travail si le syst`eme est statique ou se d ́eplace avec un mouvement uniforme ? Consid ́erons une masse m plac ́ee en A et reli ́ee par deux tiges rigides aux points et B. Les barres de logueur OA = AB = l sont articul ́ees en A. L
1.1.5 Exercice
Soit un pendule de longueur l avec une masse plac ́ee dans un champs de pesanteur g et astreint `a se d ́eplacer dans un plan (x, y) muni de la base mobile (u r,u θ). La position du point M est rep ́er ́ee par OM −−→ = lu r. Calculer le nomde de degr ́es de libert ́e. En d ́eduire que l’on peut d ́ecrire le syst`eme par la coordonn ́ee θ. Calculer
1.1.6 Exercice
Soit une masse m astreinte `a se d ́eplacer sur une tige ind ́eformable faisant un angle θ avec la verticale OZ, en rotation impos ́ee avec un vecteur de rotation Ω = Ωu Z. La masse est attach ́ee `a un ressort de constante de raideur k et de longueur `a vide l0 et glisse sans frottement. Elle est par ailleurs soumise `a son poids. Ce syst`eme est
1.1.10 Exercice
y Un artisan utilise une ́echelle de hauteur k− ABk − → = L et de masse M pour peindre un mur. Les extr ́emit ́es de l’ ́echelle s’appuient sur le mur et le sol, voir figure ci-contre. Le pied de l’ ́echelle est attach ́e au point O du mur par l’interm ́e- A diaire d’une corde inextensible de longueur l et de masse n ́egligeable de fa ̧con que l’
Xi ∂r i Fi
✪ ∂θ o`ur i est le vecteur qui rep`ere le point d’application de la force. Ce qui donne, en utilisant la base cart ́esienne elkacimi.web.cern.ch
R(O,
+ ̇φk, k ́etant le vecteur selon Oz de la base cart ́esienne. Rappelons aussi que de i ✪ = Ω ∧ e i dt e ́etant l’un des vecteurs de la base sph ́erique. La position de coordonn ́ees, est rep ́er ́ee dans le syst`eme de coordonn ́ees sph ́eriques par trois −−→ OM = r. Comme, m doit se d ́eplacer `a l’int ́erieur de la sph`ere, alors le nombre de
− N e r) ·
✪ ∂θ = −mg(ak − N e r) · (e φ ∧e r) = −mg(ak − N e r) ·e θ = +mgasinθ ∂−−→ OM elkacimi.web.cern.ch
1.2.7 Corrigé
Le syst`eme est form ́e par deux billes reli ́ees par un fil inextensible. Le syst`eme est donc form ́e par deux points mat ́eriels. L’ ́energie cin ́etique du syst`eme est la somme des ́energies cin ́etiques de chacune des billes. Quant `a l’ ́energie potentielle, il faut tenir compte du caract`ere inextensible du fil qui fait que le module de la
1.2.9 Corrigé : Machine d’Atwood. Contraintes
Le dispositif de la machine d’Atwood est d ́ecrit par la figure ci-contre. elkacimi.web.cern.ch
T2 m3g Mg
et que l’on peut r ́esoudre en utilisant la m ́ethode de Cramer R A elkacimi.web.cern.ch
∂F z(x, α),
✪ ∂z α), x ∂z ✪ ∂x(x, ∂z Or ∂z/∂α = η(x) et z′ = y′(x) + αη′(x) d ̃I ✪ = dα elkacimi.web.cern.ch
B = ∇ ∧ A =⇒v ∧ B =v ∧ ∇ ∧ A = vj∇Aj − (vj∇j)A
Rappelons que tout indice r ́ep ́et ́e correspond `a une somme sur cet indice. Ainsi elkacimi.web.cern.ch
· ∇Ai
or vj∇iAj = ∇i(vjAj), car xi et vi sont ind ́ependantes les unes des autres, et ∂ ✪ (φ vjAj) = ∂vi − − ∂vj ✪ Aj = = ∂vi −δijAj −Ai. Nous avons utilis ́e le fait que φ et A ne d ́ependent pas des vitesses. Ce qui permet d’ ́ecrire finalement elkacimi.web.cern.ch
1.2.18 Corrigé
Consid ́erons une particule qui se d ́eplace dans le plan (OXY ). Sachant que l’ ́energie cin ́etique T = T ( ̇x, ̇y) et que L(x, y, ̇x, ̇y, t) = T − V , dire quelle est la loi de sym ́etrie `a laquelle ob ́eit le lagrangien et quelle grandeur est conserv ́ee dans les cas suivants : V (x, y, t) = ax Comme le potentiel ne d ́epend pas explicitem
2.1.3 Exercice
Consid ́erons un syst`eme `a un degr ́e de libert ́e et soit M un point de l’espace des phases dont les coordonn ́ees sont (q, p). Le point M′ est le point de l’espace des phases de coordonn ́ees (Q, P ) obtenu `a partir de M par une rotation d’un angle α. On cherche `a montrer que cette rotation est une transformation canonique et `a d ́eterminer
2.1.7 Exercice
Une particule de masse m ́evolue `a une dimension x. Elle est soumise `a la force elkacimi.web.cern.ch
2.1.8 Exercice
Consid ́erons une particule libre ́evoluant selon une dimension x entre deux murs, s ́epar ́es par une distance ́egale `a L, dont le potentiel peut ˆetre mod ́elis ́e comme suit elkacimi.web.cern.ch
2.2.1 Corrigé
On consid`ere une barre AB homog`ene de longueur 2a et de masse m dont l’extr ́emit ́e A est attach ́ee `a un ressort de constante de raideur k. L’extr ́emit ́e A est assujettie `a se d ́eplacer sans frottement sur l’axe Ox d’un rep`ere la position de A le long de Ox par OA = R(Oxyz) suppos ́e galil ́een. On rep`ere x. La barre AB reste dans le pla
✪ ma2 θ2. ̇
Le bilan des forces est la force de rappel du ressort, F = −kx , le poids P = mg et la r ́eaction normale de l’axe RN qui ne travaille pas puisqu’elle est perpendiculaire aux d ́eplacements de A. Aussi l’ ́energie potentielle associ ́ee au poids et `a la force de rappel est dV = −F dA → − mg dG → = kxdx + mgasinθdθ elkacimi.web.cern.ch
2.2.3 Corrigé
Consid ́erons un syst`eme `a un degr ́e de libert ́e et soit M un point de l’espace des phases dont les coordonn ́ees sont (q, p). Le point M′ est le point de l’espace des phases de coordonn ́ees (Q, P ) obtenu `a partir de M par une rotation d’un angle α. On cherche `a montrer que cette rotation est une transformation canonique et `a d ́eterminer
P Q =
cosα sinα −sinα cosα p q = qcosα psinα − . qsinα + cosα La matrice jacobienne de cette transformation est donn ́ee par M = ✪ ∂Q ✪ ∂Q ∂q ∂p ✪ ∂P ✪ ∂P ∂q ∂p cosα = −sinα . sinα cosα Pour d ́emontrer que la transformation est canonique, il suffit de d ́emontrer que M est une matrice symplectique. En effet et elkacimi.web.cern.ch
2.2.7 Corrigé
Une particule de masse m ́evolue `a une dimension x. Elle est soumise `a la force elkacimi.web.cern.ch
3.1.2 Exercice
Consid ́erons une particule M soumise `a une force centrale attractive de type F = 3 −kr/r et anim ́ee d’un mouvement par rapport `a un rep`ere R(O, xyz) que l’on consid`ere galil ́een. Montrer que le mouvement est plan. On utilise les coordonn ́ees polaires (r, θ) comme coordonn ́ees g ́en ́eralis ́ees. Etablir l’expression du Hamiltonien H(r, θ,
Qr
αθ = pθ, il reste αr = E. Ce qui donne ∂S = ✪ = θ ∂pθ ± elkacimi.web.cern.ch
= −Et.
Quant `a Wx(x), en rempla ̧cant px par ∂Wx(x)/∂x dans l’expression de HJ, on obtient, sachant que dans ce cas la constante d’int ́egration α = E, H(x, p) = elkacimi.web.cern.ch
Questions de cours (3 points)
Montrer que deux lagrangiens diff ́erant par une d ́eriv ́ee totale d’une fonction par rapport au temps, df(qk) L′(qk, ̇qk, t) = L(qk, ̇qk, t) + ✪ dt d ́ecrivent la mˆeme dynamique. Rappeler la d ́emonstration du th ́eor`eme de Noether I(qk, ̇qk) elkacimi.web.cern.ch
∂Ai(xk, t)
D ́eterminer l’expression du hamiltonien H(q, p) et montrer que c’est une int ́egrale premi`ere. D ́eterminer les valeurs limites que peut prendre q. Etablir l’ ́equation de Hamilton-Jacobi est montrer que la variable action est don-n ́ee par l’expression ✪ J = ✪ Z E/α −E/α elkacimi.web.cern.ch D ́eterminer l’expression du hamiltonien H(q, p) et montrer que c’est une int ́egrale premi`ere. D ́eterminer les valeurs limites que peut prendre q. Etablir l’ ́equation de Hamilton-Jacobi est montrer que la variable action est don-n ́ee par l’expression ✪ J = ✪ Z E/α −E/α elkacimi.web.cern.ch D ́eterminer l’expression du hamiltonien H(q, p) et montrer que c’est une int ́egrale premi`ere. D ́eterminer les valeurs limites que peut prendre q. Etablir l’ ́equation de Hamilton-Jacobi est montrer que la variable action est don-n ́ee par l’expression ✪ J = ✪ Z E/α −E/α elkacimi.web.cern.ch D ́eterminer l’expression du hamiltonien H(q, p) et montrer que c’est une int ́egrale premi`ere. D ́eterminer les valeurs limites que peut prendre q. Etablir l’ ́equation de Hamilton-Jacobi est montrer que la variable action est don-n ́ee par l’expression ✪ J = ✪ Z E/α −E/α elkacimi.web.cern.ch D ́eterminer l’expression du hamiltonien H(q, p) et montrer que c’est une int ́egrale premi`ere. D ́eterminer les valeurs limites que peut prendre q. Etablir l’ ́equation de Hamilton-Jacobi est montrer que la variable action est don-n ́ee par l’expression ✪ J = ✪ Z E/α −E/α elkacimi.web.cern.ch D ́eterminer l’expression du hamiltonien H(q, p) et montrer que c’est une int ́egrale premi`ere. D ́eterminer les valeurs limites que peut prendre q. Etablir l’ ́equation de Hamilton-Jacobi est montrer que la variable action est don-n ́ee par l’expression ✪ J = ✪ Z E/α −E/α elkacimi.web.cern.ch D ́eterminer l’expression du hamiltonien H(q, p) et montrer que c’est une int ́egrale premi`ere. D ́eterminer les valeurs limites que peut prendre q. Etablir l’ ́equation de Hamilton-Jacobi est montrer que la variable action est don-n ́ee par l’expression ✪ J = ✪ Z E/α −E/α elkacimi.web.cern.ch D ́eterminer l’expression du hamiltonien H(q, p) et montrer que c’est une int ́egrale premi`ere. D ́eterminer les valeurs limites que peut prendre q. Etablir l’ ́equation de Hamilton-Jacobi est montrer que la variable action est don-n ́ee par l’expression ✪ J = ✪ Z E/α −E/α elkacimi.web.cern.ch D ́eterminer l’expression du hamiltonien H(q, p) et montrer que c’est une int ́egrale premi`ere. D ́eterminer les valeurs limites que peut prendre q. Etablir l’ ́equation de Hamilton-Jacobi est montrer que la variable action est don-n ́ee par l’expression ✪ J = ✪ Z E/α −E/α elkacimi.web.cern.ch
Chapitre 1
6 # Mécanique Analytique Examen 3 smp s5
s=
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