valeurs propres d'une matrice exercices corrigés

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P(α) = α2 − (a11 + a22)α + det(A).
Théorème: Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont les éléments de sa diagonale principale. −2 1 0 5 3 4   .

Comment trouver les valeurs propres d'une matrice ?

Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A est det(A - λI) (c'est un polynôme en λ). ∣ ∣ ∣ ∣ a - λ b c d - λ ∣ ∣ ∣ ∣ = (a -λ)(d -λ)-cd = λ2 -(a +d)λ+ad -bc .
Rappel.
Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique.

Comment déterminer les valeurs propres d'une matrice symétrique ?

Soit A une matrice symétrique réelle, λ une valeur propre (a priori complexe), et X un vecteur propre (à priori complexe).
Alors AX=λX, donc t¯XAX=λt¯XX.
On transpose et on conjugue.
On obtient alors (en utilisant le fait que A soit symétrique et réelle) : t¯XAX=¯λt¯XX.

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Comment trouver les valeurs propres d'une matrice ?

? est dite valeur propre de la matrice A s'il existe un vecteur non nul X ? n tel que AX = ?X.

Comment calculer les valeurs propres d'une matrice d'ordre 3 ?

Exemple : Diagonalisation d'une matrice carré d'ordre 3 Équation caractéristique : det ( A ? l I 3 ) = 0 a pour racines les valeurs propres : l 1 = l 2 = 1 ( double ) et l 3 = ? 1 .

Comment vérifier qu'une valeur est valeur propre ?

Définition — Un scalaire ? est une valeur propre de u s'il existe un vecteur x non nul tel que u(x) = ?x.
. Les valeurs propres de u sont donc les scalaires ? tels que u – ?Id n'est pas injectif (autrement dit son noyau n'est pas réduit au vecteur nul).

Comment savoir si une matrice 3x3 est diagonalisable ?

Pour démontrer qu'une matrice A est diagonalisable, la méthode la plus classique consiste à calculer le polynôme caractéristique ?A et à le factoriser pour déterminer les valeurs propres de A . Si ?A n'est pas scindé, A n'est pas diagonalisable. Si ?A est scindé à racines simples, A est diagonalisable.

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