vecteurs : la droite d'Euler

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Comment trouver la droite d'Euler ?

Euler établit en 1765 que dans un triangle non équilatéral (ABC), l'orthocentre H, le centre de gravité (ou isobarycentre) G et le centre du cercle circonscrit O sont alignés, et détermine les relations de proportionnalité entre les distances : HO = 3/2HG et GO = 1/2HG.

Pourquoi droite d'Euler ?

Dans un triangle quelconque, l'ensemble de ces intersections permet de représenter une droite.
. Le triangle ne doit pas être un triangle rectangle ou équilatérale pour que la propriété s'applique. Cette droite se nomme la droite d'Euler car c'est le mathématicien Leonhard Euler qui a énoncé et démontré cette propriété.

Pourquoi la droite d'Euler Porte-t-elle ce nom ?

Cette découverte, connue avant Leonhard Euler (1707 ; 1783), est en fait due au mathématicien écossais Robert Simson (1687 ; 1768) à qui on n'a pas attribué le nom car il existe dejà une droite de Simson.

Comment trouver le centre du cercle d'Euler ?

De façon plus générale, par construction, il est le centre du cercle circonscrit de tout triangle dont les trois sommets sont sur le cercle d'Euler. Le centre du cercle d'Euler d'un triangle est le centre de gravité du quadruplet de points formé par les trois sommets du triangle et son orthocentre.

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