exercice sur la factorisation d'un polynome

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Polynômes

Factoriser sur ℝ et sur ℂ le polynôme ( )= 6+ 4+ 2+1 Indication : ( )=1+ 2+ 4+ 6 Allez à : Correction exercice 10 Exercice 11 Soit = 4+1 4 2−3 4 +1 4 1 Montrer que 1 2 est une racine multiple de 2 ]En déduire la factorisation de dans ℝ[ ] puis dans ℂ[ Allez à : Correction exercice 11 Exercice 12

Comment calculer le degré d’un polynôme ?
Il existe et tels que = + et ° < ° =2 donc degré de est inférieur ou égal à 1 on a alors = + où et sont des réels. Correction exercice 26. Les quatre racines de 4−1=0, c’est-à-dire {1, ,−1,−} vérifie 4=1 donc ( 4) −1=1 −1=0 donc ces racines sont des racines de 4 −1, on peut mettre facteur dans ce polynôme. Correction exercice 27.
Comment savoir si un polynôme est divisible ?
est divisible par si et seulement si les racines de sont aussi des racines de . Le discriminant de 2− +1 est Δ=1−4=−3 donc les deux racines de sont : 1+ √3 Comme est un polynôme à coefficients réels, − =− 2 est aussi racine. On conclut que 2− +1 divisise ( −1) +2+ 2 +1. Correction exercice 19.
Comment calculer la racine d'un polynôme ?
Supposons que admette une racine telle que R ( ) > 1 différente de 1 alors + 1 est racine, + 1 est différent de 1, donc + 2 est aussi racine, on en déduit aisément que pour tout ∈ N, + est racine de , ce qui voudrait dire que admettrait une infinité de solution or un polynôme non nul admet un nombre fini de solutions.
Quelle est la limite de la fonction polynômiale ?
Les limites de la fonction polynômiale définie par ( )= 3+3 +1 en −∞ vaut −∞ et en +∞ vaut +∞, cette fonction est continue, donc le théorème des valeurs intermédiaires entraine qu’il existe 0 tel que ( 0)=0. admet une racine réelle. Ceci dit le même raisonnement qu’au 1°) est valable aussi. Allez à : Exercice 16 Correction exercice 17.

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