fiche bac geometrie dans l'espace
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Terminale générale
Vecteurs droites et plans dans l’espace – Exercices - Devoirs Terminale Générale - Mathématiques Spécialité - Année scolaire 2022/2023 https://physique-et-maths Exercice 7 corrigé disponible |
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VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
1) Direction d’une droite de l’espace Définition : On appelle vecteur directeur de tout vecteur non nul qui possède la même direction que la droite Propriété : Soit une droite passant par un point et de vecteur directeur ⃗ Un point appartient à la droite si et seulement si les vecteurs ⃗ et ⃗ sont colinéaires |
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Géométrie dans l’espace
Dans notre construction : •E est l’intersection des médianes du triangle ABD •On trace [GF] en rouge qui est l’intersection du plan (EFG) avec la face ABC •On ne peut pas relier E à F ou G car ces segments ne sont pas sur une face du tétraèdre •On cherche l’intersection de (EFG) avec la face ABD |
Comment calculer la base de l'espace ?
On appelle base de l'espace le triplet K⃗, ⃗, ⃗L. est un cube. Reconnaître une base de l’espace. Décomposer le vecteurs ⃗ dans cette base. Les vecteurs ⃗, ⃗ et ⃗ sont non coplanaires donc forment une base de l’espace. ⃗ ; ⃗ ; ⃗L en : ⃗= ⃗+ ⃗+ ⃗.
Définition : "Repère et base de l’espace"
Soit un point, , et ⃗ trois vecteurs de l’espace. ( , , ,⃗ ) est un repère de l’espace, lorsque , et ⃗ ne sont pas coplanaires. Le triplet ( , ,⃗ ) est dit une base de l’ensemble des vecteurs de l’espace. bactunisie.com
Définition :
Soit ( , , ,⃗ ) un repère de l’espace. Pour tout point , il existe trois réels , et tels que : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = + + ⃗ . , et sont les coordonnées de dans le repère ( , , ,⃗ ). est l’abscisse, est l’ordonnée et est le cote du point . On note : ( , , ). Tout vecteur ⃗ peut s’écrire : ⃗ = + + ⃗ où , et sont des réels. , et sont les coordonnées de
Définition : "Vecteurs colinéaires"
Deux vecteurs ⃗ et de l’espace sont colinéaires s’il existe un réel tel que ⃗ = . bactunisie.com
Définition : "Vecteurs coplanaires"
Trois vecteurs ⃗ , et ⃗ ⃗ de l’espace sont coplanaires s’il existe deux réels et tels que ⃗ = + ⃗⃗ . bactunisie.com
Théorème :
Trois vecteurs ⃗ ( ), ( ′) et ⃗ ⃗ ( " ) de l’espace sont coplanaires ⟺ ′ " Avec : ′ ′ ′ " " = " ′ " − ′ " + " ′ " " ′ ′ ′ " ′ " = 0. ′ " Théorème : Soient , , et quatre points de l’espace. , , et sont coplanaires ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ sont coplanaires. Théorème : Soit ⃗ un vecteur non nul et un point de l’espace. L’ens
Positions relatives de deux droites :
Deux droites de l’espace sont : Coplanaires (contenues dans le même plan). Dans ce cas, elles sont soit sécantes soit parallèles (strictement ou confondues). Non-coplanaires (ne sont pas contenues dans le même plan). Dans ce cas, elles ne sont ni parallèles ni sécantes. bactunisie.com
Théorème :
Soient et ′ deux droites de l’espace de vecteurs directeurs respectifs ⃗ et . ∕∕ ′ ⟺ ⃗ et sont colinéaires. Théorème : Soient ⃗ et deux vecteurs non colinéaires et un point de l’espace. L’ensemble des points de l’espace tels que les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗ et sont coplanaires est le plan passant par et de vecteurs directeurs ⃗ et . Ce
Positions relatives de deux plans :
Deux plans de l’espace sont parallèles (strictement ou confondus) ou sécants (l’intersection est une droite). bactunisie.com
Positions relatives d’un plan et d’une droite :
Un plan et une droite sont parallèles (strictement ou la droite est incluse dans le plan) ou sécants. bactunisie.com
Théorème :
Un plan et une droite sont parallèles si et seulement s’il existe un vecteur directeur de qui est un vecteur de . Un plan et une droite sont sécants si et seulement s’il existe un vecteur de qui n’est pas un vecteur de . bactunisie.com
Propriétés :
Pour tous vecteurs ⃗ , et ⃗ ⃗ de l’epace et tous réels et : ⃗ ∙ = ∙⃗ ⃗ ∙( +⃗⃗ )= ⃗ ∙ +⃗ ∙⃗⃗ ( ⃗ )∙ = ⃗ ∙( )= (⃗ ∙ ) ( ⃗ )∙( )= (⃗ ∙ ) bactunisie.com
Définition : "Vecteurs normal à un plan"
Un vecteur normal ⃗ à un plan est un vecteur directeur d’une droite quelconque perpendiculaire à ce plan. ⃗ bactunisie.com
Définition : "Orientation de l’espace"
Soit ( , , ,⃗ ) un repère de l’espace. Soit un observateur se tenant debout, dans l'axe ( ,⃗ ), les pieds en et regardant le point I. Si l’observateur a le point à sa gauche, le repère est dit direct. Il est dit indirect dans le cas contraire. Repère direct Repère indirect bactunisie.com
Définition : "Produit vectoriel"
Soit ⃗ et deux vecteurs de l’espace. On appelle produit vrctoriel de ⃗ et , l’unique vecteur noté ⃗ ∧ et défini par : Si ⃗ et sont colinéaires, alors : ⃗ ∧ =0 ⃗ . Si non, alors : ⃗ ∧ est orthogonal à ⃗ et à { (⃗ , ,⃗ ∧ ) est une base directe ‖⃗ ∧ ‖ =‖⃗ ‖⋅‖ ‖⋅sin(⃗ ,̂ ) bactunisie.com
Propriété :
Soit ⃗ et deux vecteurs non nuls de l’espace. Si ⃗ et sont deux vecteurs directeurs d’un plan normal à . , alors le vecteur ⃗ ∧ est un vecteur bactunisie.com
Théorème : "Expression analytique du produit vectoriel"
Soit ( , , ,⃗ ) un ROND de l’espace. Pour tous vecteurs et ⃗ ( ) ′ ( ′), on a : ⃗ ∧ = ′ ′ − ′ ′ + ′ ⃗ ′ ′ bactunisie.com
Théorème : "Cosinus et sinus de l’angle de deux vecteurs"
Soit ⃗ et deux vecteurs de l’espace orienté. Alors : ⃗ ∙⃗ ‖⃗ ∧⃗ ‖ cos(⃗ ,̂ )= et sin(⃗ ,̂ )= ‖⃗ ‖⋅‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖⋅‖⃗ ‖ bactunisie.com
Théorème : "Aire d’un parallélogramme – Aire d’un triangle"
Soit ( , , ,⃗ ) un RON de l’espace et un parallélogramme. L’aire du parallélogramme est égale à : ‖⃗⃗⃗⃗⃗ ∧⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ En particulier, l’aire du triangle est égale à : ‖⃗⃗⃗⃗⃗ ∧⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ bactunisie.com
Théorème : "Distance d’un point à une droite"
L’espace est muni d’un RON ( , , ,⃗ ). Soit ( ,⃗ ) une droite, un point de l’espace et son projeté orthogonal sur ( ,⃗ ). La distance de à ( ,⃗ ) est le réel positif noté ( , ) et tel que : = ( , ‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧⃗ ‖ ⃗ )= ‖⃗ ‖ bactunisie.com
Définition : "Produit mixte"
Soit ⃗ , et ⃗ ⃗ trois vecteurs de l’epace. On appelle produit mixte des vecteurs ⃗ , et ⃗ ⃗ , noté (⃗ , ,⃗⃗ ) le réel : (⃗ ∧ )∙⃗⃗ bactunisie.com
Théorème : "Volume d’un parallélépipède"
L’espace est muni d’un ROND ( , , ,⃗ ). Soit un parallélipipède et son volume. Alors : = ×h =(⃗⃗⃗⃗⃗ ∧⃗⃗⃗⃗⃗ )∙⃗⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗ ) bactunisie.com
Théorème : "Distance de deux droites"
L’espace est muni d’un RON ( , , ,⃗ ). Soit ( ,⃗ ) et ′( ′, ⃗⃗⃗ ′ ) deux droites non coplanaires, et ′ les intersections de et ′ avec leur perpendiculaire commune. La distance de ( ,⃗ ) à ′( ′, ⃗⃗⃗ ′ ) est le réel positif ′ noté ( , ′) et tel que : ′ ′ ⃗ ⃗⃗ ′ ( , ′) = ∧ ⃗⃗⃗ ′)∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′ ′ = ‖⃗ ∧ ⃗⃗⃗ ′‖ bactunisie.com
Définition : "Sphère"
L’espace est muni d’un RON ( , , ,⃗ ). Soit un point de l’espace et un réel strictement positif. On appelle sphère de centre et de rayon , l’ensemble des points de l’espace tels que = . On la note : ( , ). bactunisie.com
Géométrie dans lespace • Exercice complet de révision • Bac S centre étranger 2018
Révisions bac : Géométrie dans lespace (tout ce quil faut savoir)
section dun cube par un plan
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FICHE SUPPLEMENTAIRE : Géométrie dans lESPACE N° 1 : Un
Calculer le rayon du tronc d'arbre initial. Donner un arrondi au mm près. N° 2 : Le bac à fleurs ABCDEFGH est un tronc de pyramide qui a été formé en coupant la |
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Modèle mathématique.
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PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Dans le plan les règles de géométrie plane sur les produits scalaires s'appliquent. 3) Expression analytique du produit scalaire. Propriété : Soit. |
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11 juin 2014 On étend la notion de vecteur du plan a l'espace. ... propriétés du plan restent valables dans l'espace : ... BAC on a alors :. |
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Le cours sur les bases de la géométrie dans l'espace : https://youtu.be/aostYZK5jkE. I. Vecteurs de l'espace. 1) Notion de vecteur dans l'espace. |
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Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale
et qui doivent donc préparer l'épreuve orale terminale du baccalauréat. orthonormé permet d'établir un lien entre la géométrie de l'espace et les ... |
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Fiche méthode : intersection dans l'espace. Intersection de deux plans. Principe : On commence par trouver deux droites sécantes contenues respectivement |
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°11 : SUR LES SUITES (Partie 2) FICHE n°12 : GEOMETRIE DANS L' ESPACE FICHE n°13 |
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ETHODE GEOMETRIE DANS L'ESPACE Positions relatives d'une droite et d'un plan |
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Terminale S Chapitre « Géométrie dans lespace »
e 2 : (BAC Inde, avril 2008) On considère un tétraèdre ABCD vérifiant AB = CD, BC = AD et AC |
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1 GEOMETRIE DANS LESPACE FICHE 1 - latiQ
oites de l'espace sont orthogonales si et seulement si il existe deux droites coplanaires qui leur sont parallèles et 2°) Un cas qui revient souvent au bac : LE CUBE Exercice 1 |
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