ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices

PDF	Notes de cours LES BASES DE L’ALGÈBRE LINÉAIRE —Lacommutativitépermetd’échangerlestermesd’unesomme —Ona0 + u= upourtoutu2E —L’opposédeuestnoté uetu+ ( v) estnotéu vdesortequ’ona pourtoutuu u= 0 —Siu+ v= u+ walorsv= w — 0u= 0 — 0 = 0 — ( 1)u= u — 2u= u+ u 2 1 1 Exemplesd’espacesvectoriels

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Feuille d’exercices I : révisions d’algèbre linéaire 1

Feuille d’exercices I : révisions d’algèbre linéaire 1 Exercice 1 1 Montrerquelesvecteursv 1 = (0;1;1)v 2 = (1;0;1)v 3 = (1;1;0) formentunebasedeR3 (a) Trouverlescomposantesduvecteurw = (1;1;1) danscettebase (b) Trouverlescomposantesdesvecteurscanoniquese 1e 2e 3 danscettebase 2 DansR3donnerunexempled’unefamillelibrequin

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Exercices corrigés algèbre linéaire

Exercices corrigés algèbre linéaire Jean-JérômeCasanova Exercice1(Vériﬁcationsdelinéarité) a)L’applicationf: (xyz) 7→x+ 2y−3z+ 1 deR3 dansR est-ellelinéaire? b)L’applicationg: (xyz) 7→(x+ 2y−3zy+ 5z) deR3 dansR2 est-ellelinéaire? c)L’applicationh: (xyz) 7→x2 + ydeR3 dansR est-ellelinéaire?

PDF	Chapitre 1: Algèbre Linéaire λu u Pour que ceci ait un sens l’addition et la multiplication par des scalaires doivent satisfaire certaines propriétés

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Algèbre linéaire et bilinéaire

alors il est unique On dit que c’est l’élément neutre et que G est un monoïde Un exemple typique de monoïde s’obtient de la façon suivante : on se donne un ensemble X quelconque et on considère l’ensemble F(X) de toutes les applications f : X !X et la loi de composition des applications On a bien 1 8f;g;h : X !X; (f g) h = f

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Comment calculer l’algèbre linéaire ?
Soit F; G des sous-espaces vectoriels de E. On appelle F + G l’ensemble des vecteurs v 2 E de la forme v = uF + uG, où uF 2 F et uG 2 G. Proposition 7. F + G est un sous-espace vectoriel de E. Preuve : Exercice. L’algèbre linéaire s’est développé au début du 20ème siècle pour étudier des problèmes d’analyse fonctionnelle.
Comment calculer une combinaison linéaire ?
où λ1, · · · , λn ∈ K, est appelé une combinaison linéaire des vecteurs u1, · · · , un. car w = 3u + 2v. 0  x 0 0   . = xe1 + ye2 + ze3. u est une combinaison linéaire de e1, e2, e3.
Comment calculer une forme linéaire ?
i: Kn!K sont des formes linéaires et toute forme linéaire sur Kns’écrit de manière unique j =a 1p 1+ +a
Qu'est-ce que l'algèbre linéaire ?
Preuve : Exercice. L’algèbre linéaire s’est développé au début du 20ème siècle pour étudier des problèmes d’analyse fonctionnelle. Ces problèmes font intervenir des espaces de dimension infinie. Plus récemment, des problèmes de statistiques et d’informa- tiques ont motivé le développement de nouveaux résultats d’algèbre linéaire en dimension finie.

v u+

λu u Pour que ceci ait un sens, l’addition et la multiplication par des scalaires doivent satisfaire certaines propriétés. licence-math.univ-lyon1.fr

Définition 1

Soit E un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne, autrement dit d’une application licence-math.univ-lyon1.fr

E × E → E (u, v) 7→ u + v

et d’une loi de composition externe, autrement dit d’une application licence-math.univ-lyon1.fr

Exemple 3

Soit E = Rn[X ] l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à Rn[X ] de l’addition des polynômes Rn[X ] × Rn[X ] → Rn[X ] licence-math.univ-lyon1.fr

R × Rn[X ] → Rn[X ]

(λ, P) 7→ λP Alors Rn[X ] est un R-espace vectoriel. Son vecteur nul est le polynôme nul. n à coefficients réels. On munit où (P + Q)(X ) = P(X ) + Q(X ) où (λP)(X ) = λP(X ). De même, l’ensemble Cn[X ] des polynômes de degré inférieur ou égal à n à coefficients complexes est un C-espace vectoriel. licence-math.univ-lyon1.fr

Définition 2

Soit E un K-espace vectoriel et F un sous-ensemble non vide de E. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si pour tous u, v ∈ F , u + v ∈ F ; pour tout u ∈ F et pour tout λ ∈ K, λu ∈ F . Dans ce cas F , muni de l’addition et de la umtiplication par des scalaires, licence-math.univ-lyon1.fr

Proposition 2

Soit E un K-espace est un s.e.v de E. vectoriel et (Fi)i∈I une famille de s.e.v de E. Alors l’intersection licence-math.univ-lyon1.fr

Proposition 3

Soit E un K-e.v et A ⊆ E. Il existe un plus petit s.e.v de E contenant A. Il est unique et on l’appelle le sous-espace vectoriel engendré par A. On le note Vect(A). licence-math.univ-lyon1.fr

Preuve

E est un s.e.v de E contenant A. Donc il existe des s.e.v de E qui contiennent A. L’intersection F de ces s.e.v est un s.e.v de E contenant A. Il est le plus petit s.e.v qui contient A. En effet, si A ⊆ H, où H est un ✪ s.e.v de E, alors F ⊆ H. ✪ licence-math.univ-lyon1.fr

Définition 6

On dit d’un K-e.v E qu’il est de dimension finie s’il admet une base finie. Le cardinal (le nombre d’éléments) d’une base est appelé la dimension de E et est noté dim(E). licence-math.univ-lyon1.fr

Théorème de la base incomplète

Soit E un K-espace vectoriel. Soient L une partie libre et G une partie génératrice de E. Alors on peut compléter L par des éléments de G pour former une base de E. Autrement dit, il existe F ⊆ G \\ L tel que L ∪ F soit une base de E. licence-math.univ-lyon1.fr

L1 Algèbre linéaire : Exemple despace vectoriel avec la définition : lespace R^n

Algèbre #linéaire : Exercices corrigés #8

ALGÈBRE : Les applications linéaires EX5

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