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Comment calculer le coefficient de l'application linéaire ?
On notera cette fonction de manière équivalente : ou f : x → ax ou f(x) = ax. la fonction linéaire g de coefficient se note g : x → x ou g(x) = x.
Remarques : pour toute fonction linéaire f de coefficient a, on a : f(0) = a × 0 = 0.
Comment montrer la linéarité d'une application ?
Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
Propriétés.
Si f:E → F est une application linéaire alors • f(0) = 0, • f(λ1u1 + ··· + λnun) = λ1f(u1) + ··· + λnf(un).
Comment montrer qu'une application est un espace vectoriel ?
Si f est une application linéaire de E dans F, et g une application linéaire de F dans G alors g ◦ f est une application linéaire de E dans G.
Le noyau de f est l'ensemble des v ∈ E tels que f(v) = 0.
C'est un sous-espace vectoriel de E noté Ker(f).
Le noyau de f , noté par Ker(f ), est l'ensemble des antécédents du vecteur 0 : Ker(f ) = {x f (x) = 0} = {x Ax = 0} = l'ensemble solutions du système Ax = 0 . {y (−1 1 ) y ∈ R} = 〈 (−1 1 ) 〉.
Donc une base est (−1 1 ) .

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