puissance nième d'une matrice triangulaire

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Comment calculer la puissance nième d'une matrice ?
Pour trouver la puissance n-ième d'une matrice diagonale, il suffit d'élever à la puissance n les coefficients de la diagonale, tous les autres coefficients restant nuls.
Comment calculer la puissance de matrice ?
on procède souvent de la façon suivante:
1 On vérifie que P est inversible puis on détermine P−1.
2) On calcule D=P−1AP et on vérifie que D est bien diagonale.
3) On démontre qu'alors A=PDP−1.
On dit qu'on a diagonalisé la matrice A. 4 On démontre par récurrence que An=PDnP−1.
5) On calcule PDnP−1 et on conclut.
Quelles sont les valeurs propres d'une matrice triangulaire ?
P(α) = α2 − (a11 + a22)α + det(A).
Théorème: Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont les éléments de sa diagonale principale. −2 1 0 5 3 4   .
Une matrice A=(ai,j)1≤i,j≤n A = ( a i , j ) 1 ≤ i , j ≤ n est triangulaire supérieure si ai,j=0 a i , j = 0 dès que i>j .
Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure.

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• Veri?er que la matrice de´ u dans une telle base est triangulaire inferieure puis en´ deduire que´ Sp(u) = {Tr(u)?? 2, Tr(u)+? 2}. Que peut-on alors dire de u?

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