Cours graphe partie 4

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Optimisation Combinatoire

Proposition 1: un sous-graphe induit d’un graphe d’intervalles est un graphe d’intervalles Preuve : soit G = (V;E) un graphe d’intervalles et fI v;v 2Vg une famille d’intervalles repr esent ee par G Soit S V G S repr esentera la famille d’intervalles fI v;v 2Sg Proposition 2: tout graphe d’intervalles est triangul e

PDF	GRAPHES Partie 1 : Le vocabulaire des graphes Exemple : Le schéma suivant s'appelle un graphe Il possède 4 sommets; on dit qu'il est d'ordre 4 Les sommets A et C sont adjacents car ils sont reliés par une arête Le sommet C est de degré 3 car 3 arêtes partent de C Le sommet A possède une boucle

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Graphes-Premi ere partie

4 Graphe H 4 Exercice 3 Decrivez ce graphe par une matrice d’adjacence puis des listes d’adjacence Exercice D eterminer la matrice d’adjacence de chacun des graphes suivants (on rangera les sommets dans l’ordre alphab etique) Exercice Le graphe ci-dessous repr esente les principaux sites touristiques de l’Islande Le sommet

PDF	Algorithmique de graphes Algorithmique de graphes Lucas L etocart LIPN - UMR CNRS 7030 Institut Galil ee Universit e Paris 13 99 av Jean-Baptiste Cl ement 93430 Villetaneuse - FRANCE

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GRAPHE ET LANGAGE

Exemple I 1 Exemple de graphe orienté : 1 2 4 3 G = (S A) où — S = f1234g — A = f(12)(21)(24)(34)(33)g Exemple de graphe orienté multi-arcs : 1 2 4 3 a b d c e f g G = (S Aif) où — S = f1234g — A = fabcde f ghg — i: a 7! 1 b 7! 2 c 7! 2 d 7! 2 e 7! 3 f 7! 3 g 7! 3 et f: a 7! 2 b 7! 1 c 7! 4 d 7! 4 e

Comment calculer le cycle élémentaire d’un graphe ?
Comme legraphe est connexe et que le degré de chaque sommet est pair, on en déduit queGadmetun cycle élémentaireC= (s1,s2, . . . ,sk,s1). Soit G0 le sous-graphe deGauquel on a supprimé les arêtes deC. Le grapheG0 n’estpas forcément connexe mais vériﬁed(s)pairs pour chacun de ses sommets.
Quels sont les différents types de graphes ?
Dans un graphe orienté, les arêtes sont des couples px, yq appelés arcs et on distingue donc les arcs px, yq et py, xq. Dans ces notes, sauf mention explicite contraire, les graphes considérés sont des graphes simples et finis. Lemme I.3 Dans tout graphe à n ě 2 sommets, il existe au moins deux sommets de même degré. i P rns.
Quels sont les éléments d'un graphe ?
Autrement dit, les éléments de E sont des paires tx, yu avec x, y P V , x ‰ y. Les éléments de V sont les sommets du graphe et les éléments de E en sont les arêtes. De plus, si |V | “ n, on dira que X “ pV, Eq est un graphe à n sommets. Un graphe fini est un graphe qui a un nombre fini de sommets.
Quels sont les problèmes fondamentaux en Theorie des graphes ?
De nombreux problemes fondamentaux en theorie des graphes concernent la connexite. On peut citer par exemple : Ô Un sommet y est-il accessible par un chemin a partir d'un autre sommet ? ? Ô Le graphe est-il connexe, c'est-a-dire tous les sommets sont-ils accessibles par une cha^ne a partir d'un sommet donne x ?

I.1 Premières notions

Définitions I.1 Un graphe est un couple pV, Eq où V est un ensemble et E Ă P2pV q. Autrement dit, les éléments de E sont des paires tx, yu avec x, y P V , x ‰ y. Les éléments de V sont les sommets du graphe et les éléments de E en sont les arêtes. De plus, si V “ n, on dira que X “ pV, Eq est un graphe à n sommets. Un graphe fini est un graphe q

I.4 Connexité

Soit X un graphe. La relation C sur V pXq définie par @ a, b P V pXq, departement-math.univ-tlse3.fr

Exercice I.2 : Les nombres de Ramsey

1. a) Six pays sont en discussion à propos de deux sujets conflictuels et les discussions en sont au stade des échanges bilatéraux, organisés de la manière suivante : toute paire tA, Bu de pays donne lieu à une rencontre (entre les pays A et B) qui porte sur un seul des deux sujets conflictuels. Montrer que l’on peut trouver un ensemble de trois pa

Exercice I.3 : Des problèmes de rencontres

1. Dans cette réunion à n personnes où chaque personne a au moins un ami (l’amitié étant une relation réciproque), on ne peut pas former de groupes d’au moins trois personnes compre-nant exactement deux paires d’amis. Montrer que chaque personne est l’amie de toutes les autres personnes. Indication : Pour n ě 4, supposer que deux personnes A et B n

Exercice I.8 : Coloration des sommets d’un graphe et graphes de Mycielski

Une coloration d’un graphe X est l’attribution d’une couleur à chaque sommet de X. Les couleurs sont souvent remplacées par des entiers stictement positifs et une coloration de X est donc simplement une application c : V pXq Ñ rks pour un certain entier strictement positif k. Une telle coloration est appelée k-coloration de X. Une coloration est di

Définitions III.1

Une chaîne dans un graphe X est dite eulérienne si elle passe une et une seule fois par chaque arête de X. Un circuit du graphe X est dit eulérien s’il passe une et une seule fois par chaque arête de X. departement-math.univ-tlse3.fr

Définitions III.2

Un graphe est eulérien s’il possède un circuit eulérien. Un graphe est semi-eulérien s’il possède une chaîne eulérienne. Un circuit étant une chaîne fermée, tout graphe eulérien est aussi semi-eulérien, la réciproque étant fausse : ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ eulérien semi-eulérien non eulérien non semi-eulérien Figure III.2 – parcours eulériens (ou pa

Parcours hamiltoniens

Dans cette section, on considère à nouveau que les graphes sont simples. La question des parcours hamiltoniens est en apparence similaire à celle des parcours eulériens, la condition sur les arêtes (pour les graphes eulériens) devenant une condition sur les sommets : departement-math.univ-tlse3.fr

Définitions III.6

Un chemin dans un graphe X est dit hamiltonien s’il passe par tous les sommets de X. Un cycle dans un graphe X est dit hamiltonien s’il passe par tous les sommets de X. departement-math.univ-tlse3.fr

Théorème III.8 Si X est un graphe hamiltonien, alors pour tout sous-ensemble non vide A de V pXq,

CocopX ́ Aq ď A où CocopX ́ Aq est le le nombre de composantes connexes de X ́ A. De plus, si CocopX ́ Aq “ A, chaque composante de X ́ A est semi-hamiltonienne et tout cycle hamiltonien de X comprend un chemin hamiltonien dans chaque composante connexe. Preuve : Soit C un cycle hamiltonien de X. Il est clair que CocopX ́ Aq ď CocopC ́ A

f : V pXq Ñ R2

et g : EpXq Ñ C pI, R2q telles que — f est injective — Pour toute arête e “ ta, bu, gpeq est un arc reliant fpaq à fpbq. — Pour tout sommet v P V pXq et toute arête e P EpXq, fpvq R gpeqps0, 1rq. La donnée d’un graphe et d’un dessin de ce graphe est aussi appelé graphe topologique. Le dessin d’un graphe X est donc simplement une représentation « ha

b Fig. IV.6.

b Preuve : Soit X un graphe topologique planaire régulier de degré d et dans lequel chaque face est de longueur k. Soient n, a et f les nombres, respectivement, de sommets, d’arêtes et de faces de X. L’égalité řvPV b pXq dpvq “ 2EpXq s’écrit encore departement-math.univ-tlse3.fr

Le théorème de Wagner

Une contraction élémentaire X{e d’un graphe X “ pV, Eq est obtenue en supprimant une arête e “ ta, bu par l’identification des sommets a et b. Cela revient donc à ajouter un nouveau sommet z tel que departement-math.univ-tlse3.fr

V.3 Chapitre 3, exercice 9

✪ ✪ Pour un graphe X à n sommets, on définit clpXq comme étant le graphe obtenu par addition d’arêtes ab avec a  b et dpaq ` dpbq ě n tant que de telles paires ta, bu existent. Montrer que clpXq est bien défini. Montrer que X est hamiltonien si, et seulement si, clpGq est hamiltonien. ✪ departement-math.univ-tlse3.fr

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