Chasles et produits sclaire 1ère Mathématiques

PDF	PRODUIT SCALAIRE Lycée Saint−Charles Page 2 1ère SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES 03 − PRODUIT SCALAIRE I Introduction et norme d'un vecteur 1) Exercice de motivation Soit ABC

Quelles sont les 4 formules permettant de calculer un produit scalaire ?
Le produit scalaire est donné par la formule u → ⋅ v → = ‖ u → ‖ ‖ v → ‖ cos ⁡ .
Comment comprendre les produits scalaires ?
Le produit scalaire est très important en mathématiques, car il caractérise l'orthogonalité : les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si, et seulement si, −−→AB⋅−−→CD=0.
A B → ⋅ C D → = 0.
En outre, les calculs de longueur sont aussi reliés au produit scalaire, par la relation AB=√−−→AB⋅−−→AB.
A B = A B → ⋅ A B → .
Comment calculer AB AC ?
Produit scalaire dans le plan
1Avec un angle. →AB⋅→AC=AB⋅AC⋅cos^BAC=AB⋅AC⋅cosα 2Avec des vecteurs colinéaires. • Si les vecteurs sont colinéaires et de même sens: 3Avec les longueurs. →AB⋅→AC=12(AB2+AC2−BC2) 4Avec les coordonnées. →u⋅→v=xx′+yy′ 5Avec la projection orthogonale. →AB⋅→AC=→AB⋅→AH.
6) Avec une décomposition.
7) Conseils.
Soit u et v deux vecteurs de coordonnées u (xy) et v (x′y′).
Alors u ⋅v =xx′+yy′.
Exemple : Soit u et v deux vecteurs de coordonnées u (20,5) et v (3−4).
Alors u ⋅v =2×3+0,5×(−4)=6−2=4.

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Comment calculer la relation de Chasles ?

La relation de Chasles porte le nom d'un mathématicien fran?is du 19^e si?le : Michel Chasles.
. En géométrie, elle permet de dire que, pour tout point A, B, C quelconque, l'égalité AB + BC = AC est vérifiée.
. Cela revient à dire que le vecteur AC est la somme des vecteurs AB et BC.

Pourquoi utiliser la relation de Chasles ?

La relation de Chasles permet de calculer la somme de deux vecteurs dans un espace affine, quand l'extrémité du premier est choisie égale à l'origine du second.

Comment calculer le produit de deux vecteurs ?

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme des produits de leurs composantes correspondantes. ?u??v=uxvx+uyvy.

Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs avec leurs coordonnées ?

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel que l'on peut calculer de diverses façons.
. C'est cette diversité qui en fait un outil puissant.
. AC=?v , on a ? BC=? BA?? AC=?v??u , d'où l'égalité ? AB?? AC= 1 2 ?AB 2 ?AC 2 ?BC 2? .

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