ensemble ouvert et fermé exercice

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Comment montrer qu'un ensemble est fermé ou ouvert ?
— Un ensemble O est ouvert de (X, d) si et seulement si pour toute suite (xn)n≥1 ⊂ X telle que xn −→ x ∈ O, il existe n0 tel que xn ∈ O pour tout n ≥ n0. — Un ensemble F est fermé de (X, d) si et seulement si pour toute suite conver- gente (xn)n≥1 ⊂ F on a limn→∞ xn ∈ F.
Comment savoir si un ensemble est fermé ?
Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F.
L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ».
Tout espace métrique est séquentiel.
Est-ce que Q est un ouvert ?
Q est ouvert et fermé dans Q pour une topologie à trouver .
Pour ouvert et fermé faut toujours préciser l'ensemble dans lequel on travaille .
Une partie K de E est dite compacte si, de toute suite (un) d'éléments de K , on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K .
En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.

Ainsi, cet ensemble est fermé, mais pas ouvert (bien que ce soit une intersection d'ouverts!). Exercice 3 - Ouverts ou fermés dans l'espace des fonctions Autres questions

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Comment savoir si un ensemble est fermé ?
Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en rempla?nt « suite généralisée » par « suite ». Tout espace métrique est séquentiel.
Comment montrer que la boule ouverte est un ouvert ?
Soit U une partie d'un espace vectoriel normé E. On dit que U est un ouvert de E si l'une des assertions suivantes est vérifiée : i) Pour tout x?U, il existe r>0 tel que la boule ouverte B(x,r)?U. ii) Pour tout x?U, il existe r>0 tel que la boule fermée Bf(x,r)?U.
Dans ?, pour un intervalle, la définition métrique d'ensemble ouvert coïncide avec l'appellation d'intervalle ouvert : les convexes de ? définis par des inégalités strictes. De plus, les ouverts de ? sont les réunions au plus dénombrables d'intervalles ouverts non vides disjoints.

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. B) On montre que X est une intersection (quelconque) de parties fermées ou une union finie de fermés.

Comment trouver l'adhérence d'un ensemble ?

Démontrer que d définit une distance sur X .
. Il suffit de vérifier les trois propriétés de la définition d'une distance : D'abord, l'axiome de séparation : d(x,y)=0?x=y d ( x , y ) = 0 ? x = y .

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