ensemble ouvert fermé borné

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C'est quoi un ouvert de RN ?
Définition Un ensemble A de Rn est : (i) ouvert si ∀a ∈ A, ∃r > 0 tel que B(a, r) ⊂ A (ii) fermé si Ac est ouvert.
A = A.
A est fermé si et seulement si A = A.
Comment montrer qu'un ensemble est fermé ou ouvert ?
— Un ensemble O est ouvert de (X, d) si et seulement si pour toute suite (xn)n≥1 ⊂ X telle que xn −→ x ∈ O, il existe n0 tel que xn ∈ O pour tout n ≥ n0. — Un ensemble F est fermé de (X, d) si et seulement si pour toute suite conver- gente (xn)n≥1 ⊂ F on a limn→∞ xn ∈ F.
Est-ce que tout fermé est borné ?
Remarque.
Toute partie fermée d'un espace métrique compact (ou d'une partie compacte d'un espace métrique) est compacte (immédiat, l'écrire).
Proposition.
Toute partie compacte d'un espace métrique est fermée et bornée.
Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant dans l'ensemble ordonné.
En dehors du cas où la partie elle-même contient un majorant et un minorant, cette définition dépend donc a priori du reste de l'ensemble ordonné.

On formalise cette notion de la façon suivante: un ensemble A est ouvert si et seulement pour tout élément a de A on peut trouver un nombre réel r strictement positif tel que la boule ouverte B(a,r) de centre a et de rayon r soit incluse dans A. Un ensemble est fermé si et seulement si son complémentaire est ouvert.

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Comment montrer qu'un ensemble est fermé ou ouvert ?
— Un ensemble O est ouvert de (X, d) si et seulement si pour toute suite (xn)n?1 ? X telle que xn ?? x ? O, il existe n0 tel que xn ? O pour tout n ? n0. — Un ensemble F est fermé de (X, d) si et seulement si pour toute suite conver- gente (xn)n?1 ? F on a limn?? xn ? F._{3 sept. 2020}
Comment prouver qu'un ensemble est borné ?
Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant dans l'ensemble ordonné. En dehors du cas où la partie elle-même contient un majorant et un minorant, cette définition dépend donc a priori du reste de l'ensemble ordonné.
Comment savoir si un ensemble est ouvert ?
Définition Un sous ensemble U de X sera dit ouvert si il est vide ou si pour tout élément x de cet ensemble on peut trouver une boule ouverte de rayon suffisamment petit en sorte qu'elle soit toute entière contenue dans U. de tous les ouverts de X s'appelle la topologie de X.
En topologie, un ouvert-fermé est un sous-ensemble d'un espace topologique X qui est à la fois ouvert et fermé. Il peut sembler contre-intuitif que de tels ensembles existent, puisqu'au sens usuel, « ouvert » et « fermé » sont antonymes.

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Comment savoir si un ensemble est ouvert ou fermé ?

Une partie X de E est ouverte si et seulement si pour tout élément x de X, il existe un réel ? > 0 tel que B(x, ?) ? X.
. B)

Comment montrer qu'un ensemble est borné ?

Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant dans l'ensemble ordonné.
. En dehors du cas où la partie elle-même contient un majorant et un minorant, cette définition dépend donc a priori du reste de l'ensemble ordonné.

Qu'est-ce qu'une intervalle bornée ?

Un intervalle est borné lorsque les valeurs qui l'encadrent sont des réels : [ a ; b ] [a\\ ; b] [a ;b].

Quand Dit-on qu'un ensemble est ouvert ?

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