compact fermé borné

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Est-ce que tout ferme est borné ?
Remarque.
Toute partie fermée d'un espace métrique compact (ou d'une partie compacte d'un espace métrique) est compacte (immédiat, l'écrire).
Proposition.
Toute partie compacte d'un espace métrique est fermée et bornée.
Quand Dit-on qu'un ensemble est compact ?
On dit que (X, d) est compact s'il a la propriété suivante : pour toute suite (xn) d'éléments de X, il existe une sous-suite (xnk ) qui converge dans X.
Un exemple fondamental d'espace compact est donné par un intervalle fermé borné (un segment) de R ou, plus généralement n'importe quelle partie fermée bornée de R.
Comment montrer qu'un espace est un compact ?
On dit que (E,d) est un espace compact si et seulement si de tout recouvrement de E par des ouverts de E, on peut en extraire un sous-recouvrement fini.
En d'autres termes, si E = ⋃i∈I Ui o`u les Ui sont des ouverts, il existe J fini, J ⊂ I tel que E = ⋃i∈J Ui.
Un espace topologique séparé est compact si et seulement si toute suite généralisée possède au moins une valeur d'adhérence, autrement dit une sous-suite généralisée convergente.
Cette définition équivalente est rarement utilisée.
Elle est particulièrement adéquate pour prouver que tout produit de compacts est compact.

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C'est quoi un intervalle compact ?
Dans un espace compact, toute partie infinie poss? au moins un point limite. Plus généralement, tout espace X quasi-compact est dénombrablement compact, c'est-à-dire que toute partie infinie de X poss? au moins un point d'accumulation ou encore que, dans X, toute suite a au moins une valeur d'adhérence.
Comment montrer qu'une partie est bornée ?
Une partie d'un espace métrique est dite bornée si la distance entre ses points est majorée par un réel fixé, autrement dit si son diamètre est fini. En ce sens, les bornés de la droite réelle sont bien les parties majorées et minorées, c'est-à-dire les parties incluses dans des intervalles bornés.
Comment montrer qu'un opérateur est compact ?
Un opérateur T de X dans Y est dit compact lorsque T est continu et que toute partie bornée de X est envoyée sur une partie relativement compacte de Y. (Lorsque T est linéaire, la seconde condition suffit pour qu'il soit borné, donc continu si de plus X est un espace vectoriel normé.)
Par définition de ·?, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [?a,a]N, qui est compact. Si de plus X est fermé, c'est un fermé dans un compact, donc il est compact.

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Un ensemble X, borné, est inclus dans un pavé [?a,a]N, qui est compact. Si de plus X est fermé, c'est un fermé dans un compact, donc X est compact. Une fonction réelle, continue définie sur un espace métrique compact est bornée et atteint ses bornes.

Comment montrer qu'une partie est bornée ?

Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant dans l'ensemble ordonné.
. En dehors du cas où la partie elle-même contient un majorant et un minorant, cette définition dépend donc a priori du reste de l'ensemble ordonné.

C'est quoi un intervalle compact ?

Une partie 'compacte' est une partie de ? à la fois fermée et bornée.
. Exemples: Un intervalle fermé borné du type [a,b] est un compact. ? n'est pas compact, car non borné.

Pourquoi R n'est pas compact ?

Celle-ci est certainement la plus simple : A est compacte si, et seulement si, toute fonction continue définie sur A et à valeurs réelles est bornée.
. Ainsi ? n'est pas compact, puisque la fonction identité, qui à x associe x lui-même, est continue mais non bornée.

C'est quoi une partie compacte ?

Une partie K de E est dite compacte si, de toute suite (un) d'éléments de K , on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K .
. En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.
. Proposition : Toute partie compacte de E est fermée et bornée.

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