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Comment montrer que l'intégrale d'une fonction est continue ?
Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R .
On dit que f est uniformément continue si ∀ε>0, ∃η>0, ∀(x,y)∈I2, x−y<η⟹f(x)−f(y)<ε.
Comment montrer que l'intégrale est dérivable ?
Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si f est une fonction continue et positive sur [a,b] , alors la fonction F définie sur [a,b] par F(x)=∫xaf(t)dt F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t est dérivable sur [a,b] , et a pour dérivée f .
Est-ce qu'une fonction continue est intégrable ?
Critères d'intégrabilité
Une fonction réglée est intégrable sur un intervalle fermé.
En particulier on en déduit que les fonctions continues, continues par morceaux, monotones ou encore à variations bornées sont toutes intégrables sur un intervalle fermé.
Toutes les fonctions n'ont pas de primitive.
Et une primitive, si elle existe, n'est jamais unique : elle n'est définie qu'à une constante près.
Le théorème suivant garantit l'existence d'une primitive lorsque la fonction est continue.

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