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Comment montrer qu'un anneau est intègre ?
Si un anneau est un corps commutatif, alors il est intègre.
La réciproque est, en général, fausse (l'anneau des entiers relatifs est un contre-exemple) mais est vraie dans le cas des anneaux finis (voir infra).
L'ensemble des nombres décimaux est un anneau intègre qui n'est pas un corps.
Quand Dit-on qu'un anneau est intègre ?
Un anneau (A,+,×) est dit intègre si, pour tous a, b ∈ A, la relation ab = 0A implique que a = 0A ou b = 0A.
Autrement dit, par contraposition, dans un anneau intègre, si a = 0A et si b = 0A, alors ab = 0A aussi.
Pourquoi Z est intègre ?
Exemples : Z est un anneau intègre : il est commutatif, et le produit de deux entiers relatifs est nul si et seulement si l'un de ces deux entiers est nul. l'exemple précédent montre que M2(R) M 2 ( R ) n'est pas un anneau intègre.
Lorsque f est bijective, on parle d'isomorphisme d'anneaux.
Remarquons que pour un morphisme d'anneaux f:A→B, f : A → B , on a toujours f(0A)=0B f ( 0 A ) = 0 B et f(na)=nf(a), f ( n a ) = n f ( a ) , avec n∈Z n ∈ Z et a∈A.

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Quelle est la caractéristique d'un anneau ?

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Quelle est la différence entre un anneau unitaire et non unitaire ?

Certains manuels définissent même un anneau comme étant nécessairement unitaire, les non-unitaires étant alors nommés pseudo-anneaux. De plus, les anneaux non commutatifs, s'ils se rencontrent plus régulièrement que les non unitaires (anneaux de matrices, de fonctions), ne permettent pas de définir efficacement la notion élémentaire de division.

Pourquoi les anneaux non unitaires sont-ils dangereux ?

QUELQUES PRÉCAUTIONS: Le fait que les axiomes de 1.1.1.soient vérifiés par de nombreux ensembles justifie la définition d’une nouvelle structure. Cependant, les anneaux non unitaires représentent des cas rares et quasi pathologiques.

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Comment montrer un morphisme d'anneau ?

Un anneau intègre ou anneau d'intégrité est un anneau commutatif unitaire différent de l'anneau nul et qui ne poss? aucun diviseur de zéro.

Comment montrer qu'un anneau est euclidien ?

Un morphisme d'anneaux est une application f entre deux anneaux (unitaires) A et B qui vérifie les trois propriétés suivantes : Pour tous a, b dans A : f(a + b) = f(a) + f(b) f(a ? b) = f(a) ? f(b)

Comment trouver les idéaux d'un anneau ?

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. La fonction ? est alors appelé un stathme euclidien.

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