forme bilinéaire symétrique produit scalaire

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Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps commutatif K et φ : E×F → G une application.
On dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire : Si G = K, on parle de forme bilinéaire.

Comment montrer qu'une application est symétrique ?

Dans le cas o`u E = F, si l'application bilinéaire f : E × E −→ G vérifie : ∀x ∈ E ∀y ∈ E f(x, y) = f(y, x), elle est dite symétrique.
Elle est dite antisymétrique si elle vérifie : ∀x ∈ E ∀y ∈ E f(x, y) = −f(y, x).

Est-ce que le produit scalaire est symétrique ?

En mathématiques, et plus précisément en algèbre et en géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs.
C'est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive.

Un produit scalaire sur V est une forme bilinéaire, symétrique, et définie positive. Un F-espace vectoriel V muni d'un produit scalaire est un espace vectoriel préhilbertien. Si dimV < ∞ et F = R, alors V est un espace euclidien (même si le produit scalaire sur V n'est pas le produit scalaire euclidien).

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