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Comment simuler une loi exponentielle ?
et Y suit donc une loi exponentielle de param`etre 1. f(xy)dx = xy. u = xy ⇐⇒ x = u1/y, on en déduit que pour simuler une réalisation du couple (X, Y ), il suffit de commencer par générer Y suivant une loi exponentielle de param`etre 1 puis `a générer U suivant une loi uniforme sur [0,1] et enfin `a poser X = U1/Y .
Comment trouver le paramètre lambda d'une loi exponentielle ?
Propriétés
1Pour lire λ graphiquement.
2) P(a≤X≤b)= P(a≤X≤b)=e−λa−e−λb. car P(a≤X≤b)=∫baλe−λt dt=[−e−λt]ba=e−λa−e−λb.
3) P(X≤a)= P(X≤a)=1−e−λa. car P(X≤a)=P(0≤X≤a)=e−λ0−e−λa=1−e−λa.
4) P(X>a)= P(X>a)=e−λa. car P(X>a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λa.
Comment calculer une loi exponentielle ?
Une propriété caractéristique de la loi exponentielle est la propriété dite « d'absence de mémoire ».
P(X>t + sX>t) = P(X>s).
P(X>t + sX>t) = P(X>t + s) P(X>t) = e−λ(t+s) e−λt = e−λs = P(X>s).
La loi du couple (X, Y ) est définie par l'ensemble des probabilités : IP(X = x, Y = y) pour toutes valeurs possibles x et y.
De même, pour y ∈ DY , on a IP(Y = y) = ∑x∈DX IP(X = x, Y = y). À partir de la loi du couple, on retrouve facilement la loi de chacune des variables.

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