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Comment savoir si un ensemble est compact ?
Par définition de ·∞, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [−a,a]N, qui est compact.
Si de plus X est fermé, c'est un fermé dans un compact, donc il est compact.
C'est quoi une partie compacte ?
Une partie K de E est dite compacte si, de toute suite (un) d'éléments de K , on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K .
En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.
Comment montrer qu'un espace est compacte ?
On dit que (E,d) est un espace compact si et seulement si de tout recouvrement de E par des ouverts de E, on peut en extraire un sous-recouvrement fini.
En d'autres termes, si E = ⋃i∈I Ui o`u les Ui sont des ouverts, il existe J fini, J ⊂ I tel que E = ⋃i∈J Ui.
les compacts de R sont les fermés bornés de R.
Concretement, ce sont les ensembles fermés inclus dans un ensemble [a,b].
On ne peut pas les lister exhaustivement je pense.
Je pense qu'on peut aussi dire que c'est les unions finies d'intervalles férmés.

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Comment savoir si un ensemble est compact ?
Par définition de ·?, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [?a,a]N, qui est compact. Si de plus X est fermé, c'est un fermé dans un compact, donc il est compact.
Qu'est-ce qu'une partie compacte ?
Une partie K de E est dite compacte si, de toute suite (un) d'éléments de K , on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K . En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.
Comment montrer que tout ensemble fini est compact ?
Il suffit donc de montrer que O(n) est fermé et borné dans cet espace. Le caractère fermé est évident : la fonction f : Mn(R) ? Mn(R) qui à M associe MtM est polynomiale, donc continue, et l'on voit que O(n) = f?1({I}), image réciproque d'un fermé. est donc borné ; il est ainsi compact.
Ainsi ? n'est pas compact, puisque la fonction identité, qui à x associe x lui-même, est continue mais non bornée.

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On dit que A est un ensemble compact si, muni de la topologie induite par celle de E, il devient un espace compact. Par exemple, tous les sous-ensembles finis d'un espace topologique quelconque sont des ensembles compacts.

Quand Dit-on qu'un ensemble est compact ?

Un espace topologique séparé est compact si et seulement si toute suite généralisée poss? au moins une valeur d'adhérence, autrement dit une sous-suite généralisée convergente.
. Cette définition équivalente est rarement utilisée.
. Elle est particulièrement adéquate pour prouver que tout produit de compacts est compact.

C'est quoi une partie compacte ?

Définition : On dit qu'une partie A d'un espace métrique est compacte si toute suite de A poss? une suite extraite convergente dans A .
. Toute fonction continue sur K est uniformément continue (c'est le théorème de Heine).
. Si f:K?R f : K ? R est une fonction continue, alors elle est bornée et atteint ses bornes.

Est-ce que R est compact ?

Ainsi ? n'est pas compact, puisque la fonction identité, qui à x associe x lui-même, est continue mais non bornée.

Quels sont les compacts de R ?

les compacts de R sont les fermés bornés de R.
. Concretement, ce sont les ensembles fermés inclus dans un ensemble [a,b].
. On ne peut pas les lister exhaustivement je pense.
. Je pense qu'on peut aussi dire que c'est les unions finies d'intervalles férmés.

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